Якщо ''F'' = '''Q''', ''E'' = '''R''', ''α'' = √√{{overline|2}}, тоді мінімальний многочлен для ''α'' це ''a''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> − 2. Базове поле ''F'' важливо тим, що воно визначає можливі коефіцієнти для ''a''(''x''). Наприклад, якщо взяти ''F'' = '''R''', тоді мінімальним многочленом для ''α'' = √√{{overline|2}} є ''a''(''x'') = ''x'' − √√{{overline|2}}.
Якщо ''α'' = √√{{overline|2}} + √√{{overline|3}}, тоді мінімальний многочлен в '''Q'''[''x''] це ''a''(''x'') = ''x''<sup>4</sup> − 10''x''<sup>2</sup> + 1 = (''x'' − √√{{overline|2}} − √√{{overline|3}})(''x'' + √√{{overline|2}} − √√{{overline|3}})(''x'' − √√{{overline|2}} + √√{{overline|3}})(''x'' + √√{{overline|2}} + √√{{overline|3}}).
