Відмінності між версіями «Доповнення множин»

м
r2.7.2+) (робот змінив: ar:مجموعة مكملة (نظرية المجموعات); косметичні зміни
м (Check Wikipedia:Error 38, low prio \ Замена <i> тегом '')
м (r2.7.2+) (робот змінив: ar:مجموعة مكملة (نظرية المجموعات); косметичні зміни)
 
 
== Різниця множин (відносне доповнення) ==
Якщо ''A'' та ''B'' - множини, то '''різницею''' між ''B'' та ''А'' (порядок множин важливий), або відносним доповненням ''A'' до ''B'', є множина з елементів ''B'', які не належать ''A''. Різниця множин є [[бінарна операція|бінарною операцією]].
 
[[Файл:Venn0010.svg|200px|right|thumb|'''Відносне доповнення''' ''A'' до ''B'':<br /><math>B \setminus A~~~=~~~A^c \cap B</math>]]
 
Відносне доповнення ''A'' до ''B'' позначається як ''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'' (також ''B''&nbsp;\&nbsp;''A'').
 
Приклади:
:* {1,2,3}&nbsp;&minus;&nbsp;{2,3,4}&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;{1}
:* {2,3,4}&nbsp;&minus;&nbsp;{1,2,3}&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;{4}
:* Якщо <math>\mathbb{R}</math> - множина [[дійсне число|дійсних чисел]], і <math>\mathbb{Q}</math> - множина всіх [[раціональне число|раціональних чисел]] то <math> \mathbb{R}-\mathbb{Q}</math> є множиною [[ірраціональне число|ірраціональних чисел]].
 
Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями [[об'єднання множин|об'єднання]] та [[перетин множин|перетину]] множин
 
'''ТВЕРДЖЕННЯ 1''': Якщо ''A'', ''B'', та ''C'' є множини, то справедливі такі співвідношення::
:* ''C''&nbsp;&minus;&nbsp;(''A'' &cap;''B'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cup;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''B'')
:* ''C''&nbsp;&minus;&nbsp;(''A'' &cup;''B'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cap;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''B'')
:* ''C''&nbsp;&minus;&nbsp;(''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''A'' &cap;''C'') &cup;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''B'')
:* (''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cap;''C''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''B'' &cap;''C'')&nbsp;&minus;&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''B'' &cap;(''C''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'')
:* (''B''&nbsp;&minus;&nbsp;''A'') &cup;''C''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''B'' &cup;''C'')&nbsp;&minus;&nbsp;(''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''C'')
:* ''A''&nbsp;&minus;&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
:* &Oslash;&nbsp;&minus;&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
:* ''A''&nbsp;&minus;&nbsp;&Oslash;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''
 
== Абсолютне доповнення ==
[[ЗображенняФайл:Venn1010.svg|200px|right|thumb|'''Доповнення''' ''A'' до '''U'''<br /><math>A^c~~~=~~~U \setminus A</math>]]
Для [[універсальна множина|універсальної множини]] '''U''', відносне доповнення деякої множини ''A'' до '''U''' називається '''абсолютним доповнення''' (або просто '''доповненням''') ''A'', і позначається як ''A''<sup>C</sup> або C<sub>''A''</sub>:
:''A''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''&nbsp;&minus;&nbsp;''A''
 
Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями [[об'єднання множин|об'єднання]] та [[перетин множин|перетину]] множин
 
'''ТВЕРДЖЕННЯ 2''': Якщо ''A'' та ''B'' є [[підмножина|підмножини]] '''U''', то виконуються такі співвідношення:
:[[правила де Моргана]]:
::* (''A'' &cup;''B'')<sup>C</sup> &nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''<sup>C</sup> &cap;''B''<sup>C</sup>
::* (''A'' &cap;''B'')<sup>C</sup> &nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''<sup>C</sup> &cup;''B''<sup>C</sup>
:закони доповнення:
::* ''A'' &cup;''A''<sup>C</sup> &nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''
::* ''A'' &cap;''A''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
::* &Oslash;<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''
::* '''U'''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&Oslash;
:закон подвійного доповнення (операція доповнення є [[інволюція (математика)|інволюцією]]):
::* ''A''<sup>C</sup><sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''.
 
Попереднє співвідношення твердить, що якщо ''A'' є [[непорожня підмножина]] '''U''', то {''A'', ''A''<sup>C</sup> } є '''поділом''' '''U'''.
 
[[am:የውጭ ስብስብ]]
[[ar:مجموعة مكملة (نظرية المجموعات)]]
[[be:Дапаўненне мностваў]]
[[bg:Разлика (теория на множествата)]]
711 076

редагувань