Верхня та нижня межа: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 21:
У випадку <math>i=\inf X\in X</math>, говорять, що <math>i</math> є '''мінімумом''' <math>X</math>, тобто <math>i=\min_{x \in X} x</math>.
== Приклади ==
* На множині всіх [[раціональное число|раціональних чисел]], більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфімум. <math>\inf</math> такї множини дорівнює п'яти. Інфімум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множиниі. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум <ref> Строго кажучи, у будь-якого непорожньої підмножини цілком впорядкованої множини існує в силу [[принцип фундування|принципу фундування]] мінімум.</ref>.
* Для множини <math>S=\left\{\frac{1}{k}\mid k\in\Bbb N\right\}=\left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\ldots\right\}</math>
: <math>\sup S=1</math>; <math>\inf S=0</math>.
* Множина додатніх раціональних чисел <math>\mathbb{Q}_+=\{x\in\mathbb{Q} \mid x>0\}</math> не має точної верхньої границі в <math>\mathbb{Q}</math>, точна нижня границя <math>\inf\mathbb{Q}_+=0</math>.
* Множина <math>X=\{x\in\Bbb Q\mid x^2<2\}</math> раціональных чисел, квадрат котрих менше двух, не має точної верхньої й нижньої границі в <math>\Bbb Q</math>, але якщо його розглядати як підмножину множини [[дійсне число|дійсних чисел]], то
: <math>\sup X=\sqrt{2}</math> й <math>\inf X=-\sqrt{2}</math>.
| |||