Рівняння Шредінгера: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Romkobomko перейменував сторінку з Рівняння Шредінгера на Рівняння Шрьодінґера |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
{{Квантова механіка}}
'''Рівняння Шрьодінґера''' — основне рівняння нерелятивістської [[квантова механіка|квантової механіки]], яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.
: <math> i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle = H \left| \psi (t) \right\rangle.</math>,
де <math> \left| \psi (t) \right\rangle </math> — [[хвильова функція]], <math> H </math> — [[гамільтоніан]]. Уперше це рівняння було записане [[Ервін Шрьодінґер|Ервіном Шрьодінґером]] у 1926 році.
== Властивості ==
Внаслідок [[Принцип суперпозиції (квантова механіка)|квантового принципу суперпозиції станів]] рівняння, що описує еволюцію системи, має бути лінійним. Рівняння Шрьодінґера є саме таким.
Рівняння Шрьодінґера не лоренц-інваріантне, тобто справедливе лише для частинок, швидкість яких набагато менша за [[швидкість світла]]. Загальніше [[рівняння Дірака]] переходить у рівняння Шрьодінґера при малих швидкостях. Тому при взаємодії з [[магнітне поле|магнітним полем]] (яке є чисто релятивістським явищем) не можна використовувати звичайне рівняння Шрьодінґера.
Комплексно спряжене рівняння
: <math> -i\hbar \frac{\partial \left| \psi^* \right\rangle}{\partial t} = \hat{H} \left| \psi^* \right\rangle </math>,
збігається з рівнянням Шрьодінґера, якщо замінити <var>t</var> на −<var>t</var>, а хвильову функцію <math> \left| \psi \right\rangle \, </math> на <math> \left| \psi^* \right\rangle </math>. Це факт відображає [[зворотність]] процесів у квантовій механіці.
== Детермінізм ==
Для визначення хвильової функції будь-якої нерелятивістської квантовомеханічної системи необхідно розв'язати рівняння Шрьодінґера із початковими умовами
: <math> \left| \psi(\mathbf{r}, 0) \right\rangle = \left| \psi_0(\mathbf{r}) \right\rangle \,</math>,
де <math> \left| \psi_0(\mathbf{r}) \right\rangle \,</math> — певне початкове значення хвильової функції.
Дана умова аналогічна постановці основної задачі класичної механіки: знання початкових умов і рівняння руху повністю визначає поведінку системи в наступні моменти часу. Цей принцип називаються '''квантовим детермінізмом'''.
В реальному експерименті приготувати квантовомеханічну систему у стані із відомою початковою хвильовою функцією буває важко. У випадку, коли це складно, використовується інший підхід (див. [[матриця густини]]).
== Формальний розв'язок ==
Формальний розв'язок рівняння Шрьодінґера
: <math> \left| \psi(\mathbf{r}, t) \right\rangle = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} t \right) \left| \psi_0(\mathbf{r}) \right\rangle </math>
Тут <math> \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} t \right)</math> є не числом, а [[Лінійний оператор|оператором]], який називають [[оператор еволюції|оператором еволюції]].
== Стаціонарне рівняння Шрьодінґера ==
{{Докладніше|Стаціонарне рівняння Шрьодінґера}}
<!--[[File:Wave packet (dispersion).gif|thumb|200px|A [[wave function]] which satisfies the non-relativistic Schrödinger equation with ''V''=0. In other words, this corresponds to a particle traveling freely through empty space. На малюнку зображена дійсна частина [[Хвильова функція|хвильової функції]].]]-->
Якщо гамільтоніан квантової системи не зажить від часу, рівняння Шрьодінґера можна розв'язати відносно часу [[метод розділення змінних|методом розділення змінних]] і отримати так зване стаціонарне рівняння Шрьодінґера
: <math>\hat{H} \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle </math>,
де ''E'' — певне [[дійсне число]], яке інтерпретують, як [[енергія|енергію]]. Це рівняння є рівнням на [[власне значення|власні значення]]. Розв'язуючи його знаходять [[Енергетичний спектр|енергетичний спектр квантової системи]], тобто такі значення ''E'', при яких розв'язок існує. Кожному власному значенню <math>E_n </math> стаціонарного рівняння Шрьодінґера відповідає власна фукнція <math> \psi_n </math>.
Загальний розв'язок часового рівняння Шрьодінґера тоді записується у вигляді:
: <math> \left| \Psi (t) \right\rangle = \sum_n a_n e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t} \left| \psi_n \right\rangle </math>,
де <math> a_n </math> — комплексні коефіцієнти, які можна визначити з початкових умов.
У разі, коли гамільтоніан квантової системи залежить від часу, наприклад, при взаємодії системи з [[електромагнітна хвиля|електромагнітною хвилею]], перехід до стаціонарного рівняння Шрьодінґера неможливий. В такій квантовій системі енергія не зберігається, система може поглинати енергію хвилі або віддавати її хвилі.
== Див. також ==
* [[Рівняння Клейна-Гордона]]
* [[Рівняння Дірака]]
== Література ==
* {{книга
|автор = [[Вакарчук Іван Олександрович|Вакарчук І. О.]]
|заголовок = Квантова механіка
|рік = 2012
|видання = 4-е видання, доповнене
|видавництво = ЛНУ ім. Івана Франка
|місто = {{Comment|Л.|Львів}}
|сторінок = 872
}}
* {{книга
|автор = [[Федорченко Адольф Михайлович|Федорченко А. М.]]
|заголовок = Теоретична фізика
|частина = Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика
|том = 2
|рік = 1993
|видавництво = Вища школа
|місто = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок = 415
}}
* {{книга
|автор = [[Юхновський Ігор Рафаїлович|Юхновський І. Р.]]
|назва = Основи квантової механіки
|рік = 2002
|видавництво = Либідь
|місто = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок = 392
}}
[[Категорія:Квантова механіка]]
[[Категорія:Квантова фізика]]
[[ar:معادلة شرودنغر]]
[[arz:معادلة شرودينجر]]
[[bg:Уравнение на Шрьодингер]]
[[bn:শ্রোডিঙার সমীকরণ]]
[[bs:Schrödingerova jednačina]]
[[ca:Equació de Schrödinger]]
[[cs:Schrödingerova rovnice]]
[[da:Schrödingers ligning]]
[[de:Schrödingergleichung]]
[[el:Εξίσωση Σρέντινγκερ]]
[[en:Schrödinger equation]]
[[eo:Ekvacio de Schrödinger]]
[[es:Ecuación de Schrödinger]]
[[et:Schrödingeri võrrand]]
[[fa:معادله شرودینگر]]
[[fi:Schrödingerin yhtälö]]
[[fr:Équation de Schrödinger]]
[[gl:Ecuación de Schrödinger]]
[[he:משוואת שרדינגר]]
[[hi:श्रोडिंगर समीकरण]]
[[hr:Schrödingerova jednadžba]]
[[hu:Schrödinger-egyenlet]]
[[ia:Equation de Schrödinger]]
[[id:Persamaan Schrödinger]]
[[is:Jafna Schrödingers]]
[[it:Equazione di Schrödinger]]
[[ja:シュレーディンガー方程式]]
[[ko:슈뢰딩거 방정식]]
[[lt:Šredingerio lygtis]]
[[lv:Šrēdingera vienādojums]]
[[ms:Persamaan Schrödinger]]
[[mt:Ekwazzjoni ta' Schrödinger]]
[[nl:Schrödingervergelijking]]
[[nn:Schrödingerlikninga]]
[[no:Schrödingerligningen]]
[[pl:Równanie Schrödingera]]
[[pt:Equação de Schrödinger]]
[[ro:Ecuația lui Schrödinger]]
[[ru:Уравнение Шрёдингера]]
[[simple:Schrödinger equation]]
[[sk:Schrödingerova rovnica]]
[[sl:Schrödingerjeva enačba]]
[[sq:Ekuacioni i Shrodingerit]]
[[sv:Schrödingerekvationen]]
[[ta:சுரோடிங்கர் சமன்பாடு]]
[[tr:Schrödinger denklemi]]
[[tt:Шредингер тигезләмәсе]]
[[vi:Phương trình Schrödinger]]
[[zh:薛定谔方程]]
| |||