Відмінності між версіями «Область цілісності»

нема опису редагування
м (робот додав: ja:整域)
* Кільце [[многочлен]]ів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце <math>\Z[x]</math> многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце <math>\R[x,y]</math> многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
* Множина дійсних чисел виду <math>a+b\sqrt{2}</math> є підкільцем поля <math>\R</math>, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про [[множина|множину]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] виду <math>a+bi</math>, де <math>a</math> і <math>b</math> цілі.
* Нехай <math>U</math> - [[зв'язність|зв'язна]] [[відкрита множина|відкрита]] підмножина [[комплексна площина|комплексної площини]] <math>\C</math>. Тоді кільце <math>H(U)</math> всіх [[голоморфна функція|голоморфних функцій]] <math>f:U\rightarrow\C</math> буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного [[многовид]]у.
* Якщо <math>K</math>&nbsp;- комутативне кільце, а <math>I</math>&nbsp;- ідеал в <math>K</math>, то [[фактор-кільце]] <math>K/I</math> цілісне тоді і тільки тоді, коли <math>I</math> — простий ідеал.
* Кільце [[p-адичні числа|p-адичних]] цілих чисел.
 
Для кільця <math>K</math> з одиницею елементи <math>a\in K</math>, які ділять 1, називаються ''[[оборотний елемент|оборотними]]'' або ''дільниками одиниці''.
Елементи а і b називаються ''асоційованими'', якщо а ділить b і b ділить а. а і b асоційовані тоді і тільки тоді, коли
<math>a=b*e</math>, де e - оборотний елемент.<!-- Перевести про associated elements -->
 
Ненульовий елемент <math>q</math>, що не є оборотним називається ''незвідним'', якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.
 
Ненульовий необоротний елемент <math>p</math> називається ''простим'', якщо з того, що <math>p\mid ab</math>, слідує <math>p\mid a</math> або <math>p\mid b</math>. Це визначення узагальнює поняття [[просте число|простого числа]] в кільці <math>\Z</math>, проте враховує і негативні прості числа. Якщо <math>p</math>&nbsp;- [[простий елемент]] кільця, то породжуваний ним [[головний ідеал]] <math>(p)</math> буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.
 
== Властивості ==