Теорема Ріса: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Іванко1 (обговорення | внесок) м дoдана Категорія:Теореми з допомогою HotCat |
Xqbot (обговорення | внесок) м r2.7.3) (робот додав: cs:Rieszova věta o reprezentaci, nl:Representatiestelling van Riesz; косметичні зміни |
||
Рядок 3:
== Твердження ==
Нехай маємо:
* Гільбертів простір ''H''
* Лінійний обмежений функціонал <math>f \in H'</math> у просторі <math>H</math>
Тоді існує єдиний елемент <math>y</math> простору <math>H</math> такий, що для довільного <math>x \in H</math> виконується <math>f(x)=\langle y,x\rangle</math>.
Рядок 10:
== Доведення ==
<math>\ker(f)</math> ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором <math>H</math>.
=== Існування <math>y</math> ===
Рядок 38:
Для всіх <math>x \in H</math> справджується <math>\langle y-z, x \rangle = 0</math> зокрема <math>\langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0</math> звідки й отримується рівність <math>y = z</math>.
=== Рівність норм ===
Для доведення <math>\|y\|=\|f\|</math> спершу з [[нерівність Коші-Буняковського|неріності Коші-Буняковського]] маємо: <math>f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|</math>. Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: <math>\|f\|\leq\|y\|.</math> З іншого боку <math>f(y) = \langle y, y \rangle \leq \|y\|\|f\|</math> звідки <math>\|y\|\leq\|f\|</math>. Поєднуючи дві нерівності одержуємо <math>\|y\|=\|f\|</math>
== Див. також ==
* [[Теорема Лакса-Мільграма]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
[[Категорія:Теореми|Ріса]]
[[cs:Rieszova věta o reprezentaci]]
[[de:Rieszscher Darstellungssatz]]
[[en:Riesz representation theorem]]
Рядок 54 ⟶ 55:
[[he:משפט ההצגה של ריס]]
[[it:Teorema di rappresentazione di Riesz]]
[[nl:Representatiestelling van Riesz]]
[[pl:Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)]]
[[pt:Teorema da representação de Riesz]]
| |||