Мінімальний многочлен (теорія полів): відмінності між версіями

[перевірена версія][перевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Рядок 1:
{{for|мінімальний многочлен матриці|Мінімальний многочлен матриці}}
 
В [[теорія полів|теорії полів]], '''мінімальний многочлен'''&nbsp;— це визначений щодо [[розширення поля]] <math>E/F</math> і елемента з <math>E.</math> Мінімальний [[многочлен]] елемента, якщо він існує, це член [[Кільце поліномів|кільця поліномів]] <math>F[x],</math> від змінної <math>x</math> з коефіцієнтами в <math>F.</math> Для елемента <math>\alpha \in E,</math> нехай <math> J_{\alpha}</math> буде множиною всіх многочленів <math>f(x) \in F[x]</math> таких, що <math>f(\alpha)=0.</math> Елемент <math>\alpha</math> називається [[корінь многочлена|коренем або нулем]] кожного многочлена в <math>J_{\alpha}.</math> Ми так називаємо множину <math>J_{\alpha},</math> бо це [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] <math>F[x].</math> Нульовий многочлен, всі коефіцієнти якого <math>0,</math> є в кожному <math>J_{\alpha},</math> бо <math>0 \alpha^i = 0, \forall \alpha, i.</math> Це робить нульовий многочлен непридатним для класифікації різних значень <math>\alpha</math> за типами, отже його виключаємо. Якщо існує будь-який ненульовий многочлен в <math>J_{\alpha},</math> тоді <math>\alpha</math> називається [[алгебраїчний елемент|алгебраїчним елементом]] над <math>F,</math> і існує [[Нормований поліном|нормований]], зі старшим коефіцієнтом <math>1,</math> найменшого степеня в <math>J_{\alpha}</math> многочлен. Це і є мінімальний многочлен для <math>\alpha</math> щодо <math>E/F.</math> Він унікальний і [[незвідний многочлен|незвідний]] над <math>F.</math> Якщо єдиним членом <math>J_{\alpha}</math> є нульовий многочлен, тоді <math>\alpha</math> називають [[Трансцендентний елемент|трансцендентним елементом]] над <math>F</math> і воно не має мінімального многочлена щодо <math>E/F.</math>
 
Мінімальний многочлен корисний для побудови й аналізу розширень полів. Коли <math>\alpha</math> є алгебраїчним з мінімальним многочленом <math>a(x),</math> найменше поле, яке містить і <math>F,</math> і <math>\alpha</math> [[Ізоморфізм кілець|ізоморфне]] до [[фактор-кільце|фактор-кільця]] <math>F[x]/\langle a(x)\rangle,</math> де <math>\langle a(x)\rangle</math> є ідеалом <math>F[x]</math> утвореним <math>a(x).</math> Мінімальні многочлени також використовуються для означення [[спряжений елемент (теорія полів)|спряжених елементів]].