Відмінності між версіями «Числовий ряд»

2499 байтів додано ,  14 років тому
доповнення
м (доповнення)
(доповнення)
<math>1 + x + x_{2} + \cdots + x_{n} + \cdots = \frac{1}{1-x}</math>, <math>|x| < 1</math>.
 
При <math>|x| \geqslant 1</math> послідовність <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> скінченної границі не має, отже при <math>|x| \geqslant 1</math> ряд (4) розбігається. <math>\vartriangleleft</math>
 
'''Приклад 03.'''
Доведемо, що
 
<math>\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} + \cdots = 1</math>
 
<math>\vartriangleright</math> Дійсно, для <math>n \geqslant 1</math>
 
<math>S_{n} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1}</math>.
 
Отже, <math>S_{n} \rightarrow 1</math>, <math>n \rightarrow \infty</math>. <math>\vartriangleleft</math>
 
'''Приклад 04.'''
''Гармонічний ряд'' має вигляд
 
<math>1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots</math>
 
<math>\vartriangleright</math> Доведемо, що цей ряд розбігається. Використовуючи теорему 02, при <math>n \geqslant 1</math> матимемо
 
<math>S_{2n} - S_{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \geqslant n\frac{1}{2n} = \frac{1}{2}</math>.
 
Таким чином, <math>S_{2n} - S_{n} \nrightarrow 0</math>, <math>n \rightarrow \infty</math>. Оскільки послідовність <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> зростає та не має границі, то <math>S_{n} \rightarrow +\infty</math>, <math>n \rightarrow \infty</math>. Проте зростання <math>S_{}</math> із зростанням <math>n</math> відбувається дуже повільно. [[Леонард Ойлер|Л.&nbsp;Ойлер]] підрахував, що <math>S_{1000000} \approx 14</math>. Варто також звернути увагу, що члени гармонійного ряду прямують до нуля при <math>n \rightarrow \infty</math>, тобто необхідна умова збіжності виконується. <math>\vartriangleleft</math>
 
 
== Властивості збіжних рядів ==
 
'''1.''' Нехай ряд
 
<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}</math>
 
збігається до суми <math>S</math>. Тоді для будь-якого <math>c \in \mathbb{R}</math> ряд
 
<math>\sum_{n=1}^{\infty}(ca_{n})</math>
 
теж збігається и має суму <math>cS</math>, тобто
 
<math>\sum_{n=1}^{\infty}(ca_{n}) = c\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}</math>.
 
<math>\vartriangleright</math> Доведення випливає з означень. <math>\vartriangleleft</math>
 
 
 
== Література ==
*'' Дороговцев&nbsp;А.&nbsp;Я.'' Математический анализ: Справочное пособие. К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985.
* ''Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 4.'' Советская энциклопедия, 1984.
 
{{Wikify}}
 
[[Категорія:Математичний аналіз]]
58

редагувань