Відмінності між версіями «Числовий ряд»

1006 байтів додано ,  14 років тому
м
доповнення
м (доповнення)
== Основні означення ==
[[Категорія:Математичний аналіз]]
 
== Означення ==
 
Нехай <math>\{a_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> — деяка послідовність дійсних чисел. Для кожного <math>n \in \mathbb{N}</math> визначена скінченна сума цих елементів
<math>S_{n} :\,= a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}</math>.
 
'''Означення.''' Дві числові послідовності <math>\{a_{n} \colon n \geqslant1\}</math> та <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> називаються ''числовим рядом'' и позначаються
 
<math>a_{1} + a_{2} + \cdots +a_{n} + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}</math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)
Якщо послідовність <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> скінченої границі не має, то числовий ряд (1) називається ''розбіжним''.
 
==='''Теорема 01===.'''
Якщо числовий ряд
 
<math>a_{n} \rightarrow 0</math>, <math>n \rightarrow \infty</math>
 
'''Доведення.''' <math>\vartriangleright</math>
Дійсно, оскільки <math>a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}</math>, <math>n \geqslant 2</math> та <math>S_{n} \rightarrow S \in \mathbb{R}</math>, <math>n \rightarrow \infty</math>, то <math>a_{n} \rightarrow S - S = 0</math>, <math>n \rightarrow \infty</math>. <math>\vartriangleleft</math>
 
==='''Теорема 02===.'''
Якщо числовий ряд
 
<math>a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{2n} \rightarrow 0</math>, <math>n \rightarrow \infty</math>
 
'''Доведення.''' <math>\vartriangleright</math>
Розглянемо <math>a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{2n} = S_{2n} - S_{n} \rightarrow S - S = 0</math>, <math>n \rightarrow \infty</math>. <math>\vartriangleleft</math>
 
Теореми 01 та 02 дають необхідні умови сбіжності ряду (1).
 
==='''Приклад 01===.'''
Ряди
 
 
є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, <math>a_{n} = 1 \nrightarrow 0</math>, <math>n \rightarrow \infty</math> у випадку ряду (1) та <math>a_{n} = (-1)^{n+1} \nrightarrow 0</math> у випадку ряду (2).
 
'''Приклад 02.'''
''Геометричний ряд'' для <math>x \in \mathbb{R}</math> має вигляд
 
<math>1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} + \cdots</math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(4)
 
Його частова сума
 
<math>S_{n} = \begin{cases} n, & x=1; \\ \frac{1-x^{n}}{1-x}, & x \neq 1 \end{cases}</math>
 
для <math>n \geqslant 1</math>.
 
<math>\vartriangleright</math> Якщо <math>|x| < 1</math> то <math>x^{n} \rightarrow 0</math>, <math>n \rightarrow \infty</math>. Тобто, при <math>|x| < 1</math> ряд (4) збігається до суми <math>\frac{1}{1-x}</math>:
 
<math>1 + x + x_{2} + \cdots + x_{n} + \cdots = \frac{1}{1-x}</math>, <math>|x| < 1</math>.
 
При <math>|x| \geqslant 1</math> послідовність <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> скінченної границі не має, отже при <math>|x| \geqslant 1</math> ряд (4) розбігається.<math>\vartriangleleft</math>
 
== Література ==
{{Wikify}}
 
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Теорія рядів]]
58

редагувань