Симпліційна множина

Симпліційна множина — теоретико-категорна конструкція, яка узагальнює поняття симпліційного комплексу і в певному сенсі моделює поняття топологічного простору з «хорошими» властивостями: теорія гомотопій для симпліційних множин еквівалентна класичній теорії гомотопій для топологічних просторів. При тому, що симпліційна множина є чисто алгебраїчною конструкцією, забезпечується практично повний паралелізм з геометричними об'єктами; в зв'язку з цим вважається одним з найважливіших об'єктів в алгебричній топології як з методологічної точки зору, так і з інструментальної .

З точки зору теорії категорій симпліційна множина є симпліційним об'єктом у категорії множин, або, еквівалентно, як передпучок симпліційної категорії в категорію множин.

Означення та структура

Симпліційною множиною $X$ називається контраваріантний функтор з симпліційної категорії в категорію множин: $\Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set}$.

Оскільки кожен морфізм симпліційної категорії породжується морфізмами $\delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]$ і $\sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]$ ($0\leq i\leq n$), заданими як:

$\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geq i\end{cases}}$,

$\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leq i\\j-1,&j>i\end{cases}}$,

то симпліційну множина можна задати як систему $n$-шарів $X_{n}$, пов'язаних відповідними (двоїстими до $\delta$ і $\sigma$) відображеннями $d_{i}^{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ і $s_{i}^{n}:X_{n}\to X_{n+1}$, що задовольняють співвідношення:

$d_{i}^{n}d_{j}^{n+1}=d_{j-1}^{n}d_{i}^{n+1}$, якщо $i<j$,

$s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1}$, якщо $i\leq j$,

$d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1}d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}$.

Точки шару $X_{n}$ називаються $n$-мірним симплексами, до того ж точки шару $X_{0}$ — вершинами, а шару $X_{1}$ — ребрами. Морфізми $d_{i}^{n}$ називаються операторами граней, а морфізми $s_{j}^{n}$ — операторами виродження.

Симпліційне відображення — (функторний) морфізм між симпліційного множинами $f:X\to X'$симпліційного відображення також може бути розглянуто як сукупність відображень $f_{n}:X_{n}\to X_{n}'$, для яких виконуються умови:

$d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n}$ ($0\leq i\leq n$),

$s_{i}^{n}f_{n}=f_{n+1}s_{i}^{n}$ ($0\leq i\leq n$).

Симпліційна множина $X$ називається симпліційною підмножиною $X'$, якщо всі шари $f_{n}:X_{n}\to X_{n}'$ симпліційного відображення $f:X\to X'$ є ін'єктивними відображеннями; в цьому випадку оператори граней і оператори виродження в $X$ є звуженнями відповідних операторів для $X'$.

Симпліційною фактор-множиною називається симпліційна множина, що отримується пошаровою факторизацією симпліційної множини, тобто, $X/\sigma$ - набір шарів $X_{n}/\sigma$, до того ж оператори граней і виродження шарів-фактор-множини індукуються відповідними операторами множини $X$.

Симпліційні множини з усіма симпліційними відображеннями між ними утворюють категорію $\mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}$ .

Симплекс $x\in X_{n}$ називається виродженим, якщо існує такий симплекс $y\in X_{n-1}$ і такий оператор виродження $s_{i}$, що $x=s_{i}y$.

Згідно леми Ейленберга — Зільбера будь-який симплекс $x\in X_{n}$в єдиний спосіб можна записати у виді $x=s_{i_{k}}\ldots s_{i_{1}}y$, де $i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}$, а $y\in X_{n-k}$ — невироджених симплекс.

Найменша симпліційна підмножина у $X$, що містить всі його невироджені симплекси розмірності, меншої або рівної n, називається n-кістяком $X$.

Приклади

• Для будь-якого топологічного простору X можна ввести симпліційну множину S(X), що називається сингулярною симпліційною множиною простору X. Симплексами цієї множини є сингулярні симплекси простору X, тобто образи неперервного відображення стандартних симплексів $\sigma _{n}:\Delta ^{n}\to X$. Оператори граней $d_{i}$ і виродження $s_{i}$ цієї симпліційної множини задаються формулами

$d_{i}\sigma ^{n}(t_{0},\ldots ,t_{n-1})=\sigma ^{n}(t_{0},\ldots ,t_{i-1},0,t_{i}\ldots ,t_{n-1})$,

$s_{i}\sigma ^{n}(t_{0},\ldots ,t_{n+1})=\sigma ^{n}(t_{0},\ldots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2}\ldots ,t_{n+1})$.

Відповідність $X\to S(X)$ є функтором з категорії топологічних просторів Тор в категорію симпліційних множин $\mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}$.

• Довільний абстрактний симпліційний комплекс K визначає симпліційну множину O(K), у якій симплексами розмірності n є (n + 1) — елементні послідовності $(x_{0},...,x_{n})$ вершин комплексу K, з властивістю, що в K існує такий симплекс s, що $x_{i}\in s$ для всіх елементів послідовності. Оператори граней $d_{i}$ і виродження $s_{i}$ цієї симпліційної множини задаються формулами

$d_{i}(x_{0},...,x_{n})=(x_{0},...,{\hat {x_{i}}},...,x_{n})$,

$s_{i}(x_{0},...,x_{n})=(x_{0},...,x_{i},x_{i},x_{i+1},...,x_{n})$.

де ${\hat {\cdot }}$ позначає, що відповідний елемент вилучається з послідовності.

Відповідність $X\to O(X)$ є функтором з категорії абстрактних симпліційних комплексів у категорію симпліційних множин $\mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}$.

• Для довільної групи $\pi$ можна ввести симпліційну множину $K(\pi )$, для якої симплексами розмірності $n$ є класи пропорційних (n + 1)-елементний послідовностей (за означенням $(x_{0},...,x_{n})~(y_{0},...,y_{n})$, якщо існує такий елемент $a\in \pi$, що $ax_{i}=y_{i}$ для всіх $i=0,\ldots ,n$). Оператори граней $d_{i}$ і виродження $s_{i}$ цієї симпліційної множини задаються формулами

$d_{i}(x_{0}:...:x_{n})=(x_{0}:...:x_{i-1}:x_{i+1}:...:x_{n})$,

$s_{i}(x_{0}:...:x_{n})=(x_{0}:...:x_{i}:x_{i}:x_{i+1}:...:x_{n})$.

$K(\pi )$ є прикладом симпліційної групи.

• Нехай дана категорія $\Delta$ лінійно впорядкованих множин $[n]=\{0,1,2,...,n\},\,\,n\geq 0,$ та незменшуваних відображень, $\Delta _{+}$ - підкатегорія категорії $\Delta$, яка складається лише із зростаючих відображен, причому об'єкти $\Delta _{+}=\mathrm {Ob} \Delta .$ Розгляньмо $\forall n>0\,\,\And \,\,\forall 0\leq i\leq n$ зростаюче відображення $\delta _{n}^{i}:[n-1]\to [n]$, образи яких не містять $i\in [n].$ Для функтора $F:\Delta \rightarrow \mathrm {Ab}$ визначений комплекс абелевих груп $C^{n}=F([n])$ й диференціалів $d^{n}=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}F(\delta _{n+1}^{i})$ за $n\geq 0$ та $C^{n}=0$ за $n<0.$ При цьому $n$-ні когомології $\forall n\geq 0$ є ізоморфними границі $\lim {}_{\Delta }^{n}F$. Морфізм $\delta _{n}^{i}$ за $n>0\,\And \,0\leq i\leq n$ переводиться імерсією Йонеди $\Delta _{+}^{op}\rightarrow \Delta _{+}\mathrm {ens}$ у натуральне перетворення

$\Delta _{+}(\delta _{n}^{i},\,-):\Delta _{+}([n],\,-)\rightarrow \Delta _{+}([n-1],\,-),$

компоненти якого $[m]\in \mathrm {Ob} \,\Delta _{+}$діють по формулі $\Delta _{+}(\delta _{n}^{i},\,\mathrm {Id} _{[m]})(f)=f\circ \delta _{n}^{i}.$

Властивості

Категорія симпліційних множин допускає індуктивні і проективні границі, що обчислюються на кожному шарі. Зокрема, для будь-яких симпліційних множин $X$ і $X'$ визначені прямий добуток $X\times X'$ і пряма сума $X\oplus X'$, до того ж для всіх шарів:

$(X\times X')_{n}=X_{n}\times X'_{n}$,

$(X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}$.

Косимпліційна множина

Також використовується двоїсте поняття косимпліційної множини — коваріантного функтора з симпліційної категорії в категорію множин: $\Delta \to \mathbf {Set}$. Косимпліційні множини мають аналогічну пошарову структуру з операторами граней і виродження (двоїстих до відповідних операторів симпліційних множин) і утворюють категорію $\mathbf {Set} ^{\Delta }$.

Геометричне представлення

Стандартні симплекси $\Delta ^{n}=\{(t_{0},\dots t_{n})\mid {(\sum _{i}t_{i}=1)}\wedge {(\forall i\;t_{i}\geqslant 0)}\}$із стандартною топологією евклідового підпростору утворюють косимпліційний топологічний простір щодо операторів кограней $\delta _{i}$ і ковирождення $\sigma _{i}$, заданих формулами

$\delta _{i}(t_{0},\ldots ,t_{n-1})=(t_{0},\ldots ,t_{i-1},0,t_{i}\ldots ,t_{n-1})$,

$\sigma _{i}(t_{0},\ldots ,t_{n+1})=^{n}(t_{0},\ldots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2}\ldots ,t_{n+1})$.

Нехай на шарах $X_{n}$ симпліційної множини $X$введено дискретну топологію.

Розглянемо топологічний простір $|X|=\left(\bigsqcup _{i=0}^{\infty }X_{i}\times \Delta ^{i}\right)/(\sim )$, що є фактор-простором диз'юнктного об'єднання добутків вказаних топологічних просторів по відношенню еквівалентності породженому еквівалентностями:

$(d_{i}x,p)\sim (x,\delta _{i}p),\quad x\in X_{n},\,p\in \Delta ^{n-1}$,

$(s_{i}x,p)\sim (x,\sigma _{i}p),\quad x\in X_{n},\,p\in \Delta ^{n+1}$.

Для простору |X| існує клітинне розбиття, клітини якого знаходяться в бієктивній відповідності з невиродженими симплексами симпліційної множини X. Простір |X| із цим розбиттям називається геометричним представленням симпліційної множини X.

Симпліційне відображення $f:X\to X'$визначає неперервне відображення $Rf:|X|\to |X'|$для якого $Rf(x,p)=(f(x),p),\quad x\in X_{n},\,p\in \Delta ^{n}.$

Відповідність $X\to |X|$таким чином є функтором з категорії симпліційних множин $\mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}$ в категорію топологічних просторів Тор. Цей функтор є спряженим зліва до сингулярного функтора.

Див. також

• Абстрактний симпліційний комплекс
• Симпліційна категорія
• Симпліційний комплекс

Література

• Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий. — Москва : Мир, 1971. — С. 296.
• Goerss, Paul; Jardine, John (1999). Simplicial homotopy theory. Birkhäuser. ISBN 3-7643-6064-X.
• May, Peter (1967). Simplicial objects in algebraic topology. The university of Chicago press. ISBN 0-226-51180-4.