Симетрична алгебра

У лінійній алгебрі і теорії кілець симетрична алгебра — алгебра над полем чи над кільцем, що є певною мірою узагальненням алгебри многочленів. Симетрична алгебра є підалгеброю тензорної алгебри і має багато спільних властивостей із зовнішньою алгеброю.

Означення

Якщо $M$ — модуль над коммутативно-асоціативним кільцем $A$ з одиницею, $T(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}(M)$, де $T^{k}(M)=M\otimes \cdots \otimes M$, — тензорна алгебра модуля $M$. Введемо також ідеал $I(V)\subseteq T(V)$ виду

$I(M):=\mathrm {span} \left\{v\otimes w-w\otimes v{\Big |}\;v,w\in V\right\}$.

Симетричною алгеброю модуля $M$ називається алгебра $S(M)=T(M)/I(M)$.

Властивості

• Симетрична алгебра є комутативною і асоціативною $A$-алгеброю з одиницею.
• Симетрична алгебра є градуйованою:

$S(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }S^{k}(M)$.

де $S^{k}(M)=T^{k}(M)/I(M)\cap T^{k}(M)$.

Зокрема $S^{0}(M)=A,\;S^{1}(M)=M$. Модуль $S^{k}(M)$ називається k-им симетричним степенем модуля $M$.

• Якщо $M$ — вільний модуль із скінченним базисом $x_{1},\ldots ,x_{n}$, то відповідність $x_{i}\to X_{i}$ продовжується до ізоморфізму алгебри $S(M)$ і алгебри многочленів $A[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Таким чином симетричну алгебра є узагальненням алгебри многочленів
• Для будь-якого гомоморфізму A- модулів $f:M\to N$ k-ий тензорний степінь $T^{k}(f):T^{k}(M)\to T^{k}(N)$ індукує гомоморфізм $S^{k}(f):S^{k}(M)\to S^{k}(N)$ (k-ий симетричний степінь гомоморфізму $f$). Ці гомоморфізми разом задають гомоморфізм A-алгебр $S(f):S(M)\to S(N)$. Відповідності $f\to S^{k}(f)$ і $f\to S^{k}(f)$ є відповідно коваріантними функторами з категорії $A$-модулів в себе і в категорію А-алгебр.
• Для будь-яких двох A-модулів М і N існує природний ізоморфізм $S(M\oplus N)\cong S(M)\otimes \cong S(M)$.
• Якщо $V$ — векторний простір над полем $\mathbb {K}$ характеристики 0, то симетрична алгебра $S(V)$ є ізоморфною алгебрі симетричних контраваріантних тензорів $T^{S}$ (тобто алгебрі полілінійних відображень $P:\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} \rightarrow \mathbb {K}$) на $V$ разом з операцією симетричного множення:

Якщо $P\in T_{k}^{S},Q\in T_{l}^{S}$ — два контраваріантні тензори відповідних порядків то їх симетричний добуток $PQ\in T_{k+l}^{S}$ за означенням задається як

$(PQ)(v_{1},\ldots ,v_{k+l})={\frac {1}{(k+l)!}}\sum _{\sigma \in S_{k+l}}P(v_{\sigma (1)},\ldots .v_{\sigma (k)})Q(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+l)})$

• Якщо $V$ — векторний простір розмірності n, то розмірність k-ого симетричного степеня рівна

$\operatorname {dim} (S^{k}(V))={\binom {n+k-1}{k}}$.

Як наслідок розмірність усієї симетричної алгебри є нескінченною, на відміну від випадку зовнішньої алгебри.

• Симетрична алгебра на векторному просторі є вільним об'єктом категорії комутативних асоціативних алгебр з одиницею.

Див. також

• Зовнішня алгебра
• Кільце многочленів
• Тензорна алгебра

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), algebra Symmetric algebra, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Література

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978. ISBN 3-540-08663-3