Секвенційний простір

У топології секвенційним простором називається топологічний простір у якому властивість збіжності чи розбіжності послідовностей повністю визначає топологію. Поняття вперше формально ввів американський математик Стен Френклін у 1965 році.

Секвенційно відкриті і секвенційно замкнуті множиниРедагувати

ОзначенняРедагувати

Нехай Xтопологічний простір.

  • Підмножина U простору X називається секвенційно відкритою якщо для кожної послідовності (xn) точок X, що збігається до точки з U існує N таке, що xn є точкою U для всіх nN.)
  • Підмножина F простору X називається секвенційно замкнутою якщо для кожної послідовності (xn) точок F, що збігається до x, точка x теж належить F.

ВластивостіРедагувати

  • Доповнення секвенційно відкритої множини є секвенційно замкнутою множиною і навпаки.
Нехай U є секвенційно відкритою, F= X\U є її доповненням і (xn)n∈ℕ є збіжною послідовністю точок із F. Якщо  , тоді  . Це суперечить тому, що всі xn є елементами F. Тобто кожна така послідовність збігається до точки F і тому F є секвенційно замкнутою.
Навпаки, нехай F є секвенційно замкнутою і U= X\F її доповненням. Нехай також (xn)n∈ℕ є послідовністю у X для якої   і припустимо, що для будь-якого  , тобто  . Розглянемо підпослідовність таких елементів   (їх очевидно має бути нескінченно багато). Ця підпослідовність є збіжною як підпослідовність збіжної послідовності, і всі її елементи належать F. Томі і границя має бути елементом F, що суперечить тому, що xU. Відповідно всі елементи послідовності xn, починаючи з деякого належать U і тому U є секвенційно відкритою множиною.
Нехай (xn)n∈ℕ є послідовністю у X, що збігається до точки xU. Оскільки U є відкритою множиною, то вона є околом точки x і, за означенням збіжності послідовностей, існує  . Це доводить твердження для відкритих множин. Твердження для замкнутих множин випливає із того, що доповнення замкнутої множини є відкритою множиною, а доповнення секвенційно замкнутої — секвенційно відкритою.
  • Секвенційно відкриті множини утворюють топологію, яка є сильнішою від початкової і має однакові властивості щодо збіжності послідовностей.
Порожня множина і X є очевидно секвенційно відкритими множинами. Нехай(Ui)i∈I є сім'єю секвенційно відкритих підмножин,   і (xn)n∈ℕ — послідовність у X, що збігається до xU. Якщо x є елементом об'єднання, то   і, згідно означення секвенційно відкритих множин, усі елементи послідовності xn, починаючи з деякого, належать Ui0. Якщо   є скінченним перетином секвенційно відкритих підмножин, то послідовність, що збігається до елемента xV задовольняє умови  . Якщо взяти  , то  .

Означення секвенційних просторівРедагувати

Секвенційним простором називається топологічний простір X, що задовольняє еквівалентні умови:

  1. Кожна секвенційно відкрита підмножина простору X є відкритою множиною.
  2. Кожна секвенційно замкнута підмножина простору X є замкнутою множиною.
  3. Для кожної підмножини S ⊆ X, яка не є замкнутою, тобто  , існує послідовність   елементів S, що збігається до елемента  .[1]

Тобто початкову топології можна відтворити на основі інформації про те які послідовності є збіжними.

Еквівалентність перших двох умов відразу випливає з того, що доповнення замкнутої множини є відкритою множиною, а доповнення секвенційно замкнутої — секвенційно відкритою.
( ): Якщо S не є замкнутою, то S не є секвенційно замкнутою і тому існує послідовність елементів S, що збігається до точки, що не належить S. Оскільки ця точка є точкою дотику для S, то вона належить замиканню S.
Навпаки, припустимо, що виконується умова 3 і підмножина S:=F є секвенційно замкнутою але не замкнутою. Згідно умови 3 тоді існує послідовність у F, що збігається до точки у  , тобто гранична точка не належить F. Це суперечить секвенційній замкнутості F.


Іншими еквівалентними умовами є:

Секвенційне замиканняРедагувати

Для підмножини   простору  , секвенційним замиканням   називається множина

 

тобто множина всіх точок   для яких існує послідовність у  , що збігається до  . Оператор

 

називається оператором секвенційного замикання.

Оператор секвенційного замикання має багато властивостей спільних із оператором замикання:

  •  
  •   і тому секвенційне замикання замкнутої множини є тією ж множиною.
  позначає замикання множини  .
  •   для всіх  .

Проте, на відміну від звичайного замикання, оператор секвенційного замикання загалом не є ідемпотентним, тобто можливі випадки коли

 

і також  , навіть коли   є підмножиною секвенційного простору  .

Ще одним варіантом є трансфінітне секвенційне замикання. Для його означення нехай спершу   є рівним   і для звичайного ординала   є рівним   Для граничного ординала   за означенням   є рівним  . Тоді існує найменший ординал   для якого   і тоді   називається трансфінітним секвенційним замиканням множини   (зокрема завжди  , де   є першим незліченним ординалом). Трансфінітне секвенційне замикання є очевидно ідемпотентним.

Найменше   для якого   для всіх   називається секвенчійним порядком простору X.[2] Секвенційний порядок є визначеним для всіх секвенційних просторів.

Простір ФрешеРедагувати

Топологічний простір у якому секвенційне замикання будь-якої множини є рівним її замиканню називається простором Фреше. Тобто у цьому просторі

 

для всіх  .

Топологічний простір є простором Фреше, якщо і тільки якщо кожен його підпростір є секвенційним простором.

Кожен топологічний простір, що задовольняє першу аксіому зліченності є простором Фреше. Дійсно, нехай точка   має зліченну базу околів   Для кожного   можна вибрати точку   Тоді послідовність   збігається до  

Очевидно, що кожен простір Фреше є секвенційним простором. Обернене твердження не є справедливим.[3][4]

Топологічний простір   називається сильним простором Фреше якщо для кожної точки   і кожної послідовності   підмножин простору   для якої   , існують точки   такі, що  .

ПрикладиРедагувати

  • Топологічний простір із козліченною топологією на незліченній множині не є секвенційним. Кожна збіжна послідовність у такому просторі є константою починаючи з якогось номера, тому кожна множина є секвенційно відкритою. Але козліченна топологія не є дискретною.

Категорні властивостіРедагувати

Повна підкатегорія Seq усіх секвенційних просторів є замкнутою щодо таких операцій у категорії топологічних просторів Top:

  • Фактор-простори
  • Неперервні відкриті чи замкнуті образи
  • Суми топологічних просторів
  • Фінальні топології
  • Відкриті і замкнуті підпростори

Натомість Seq не є замкнутою щодо таких операцій у Top:

  • Неперервні образи
  • Підпростори
  • Скінченні добутки

Оскільки вони є замкнутими щодо сум і фактор-просторів, секвенційні простори утворюють корефлективну підкатегорію категорії топологічних просторів. Більш того вони є корефлективною оболонкою метризовних просторів (тобто найменшим класом топологічних просторів, що є замкнутим відносно сум і фактор-просторів і містить метризовні простори).

Підкатегорія Seq є декартово замкнутою щодо свого добутку (не добутку у Top). Її експоненційні об'єкти наділені топологією збіжних послідовностей. P.I. Booth і A. Tillotson довели, що Seq є найменшою декартово замкнутою підкатегорією категорії Top, що містить топологічні простори усіх метричних просторів, CW-комплексів, диференційовних многовидів і є замкнутою щодо кограниць, фактор-категорій і деяких додаткових рівностей введених Норманом Стінродом.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Arkhangel'skii, A.V. і Pontryagin L.S.,  General Topology I, definition 9 p.12
  2. Arhangel'skiĭ, A. V.; Franklin, S. P. (1968). Ordinal invariants for топологічний простірs.. Michigan Math. J. 15 (3): 313–320. doi:10.1307/mmj/1029000034. 
  3. Engelking 1989, Example 1.6.18
  4. Ma, Dan. note about Arens’ space. Архів оригіналу за 21 грудня 2013. Процитовано 1 серпня 2013. 

ДжерелаРедагувати