Різнице́ва схе́ма — кінцева система алгебраїчних рівнянь, поставлена ​​у відповідність будь-якої диференціальної задачі, що містить диференціальне рівняння і додаткові умови (наприклад крайові умови та / або початковий розподіл). Таким чином, різницеві схеми застосовуються для зведення диференціальної задачі, що має континуальний характер, до кінцевої системі рівнянь, чисельне вирішення яких принципово можливе на обчислювальних машинах. Алгебраїчні рівняння, поставлені у відповідність диференціальних рівнянь виходять застосуванням різницевого методу, що відрізняє теорію різницевих схем від інших чисельних методів розв'язання диференціальних завдань (наприклад проекційних методів, таких як метод Гальоркіна).

Рішення різницевої схеми називається наближеним рішенням диференціальної задачі.

Хоча формальне визначення не накладає суттєвих обмежень на вид алгебраїчних рівнянь, але на практиці має сенс розглядати тільки ті схеми, які будь-яким чином відповідають диференціальної задачі. Важливими поняттями теорії різницевих схем є поняття збіжності, апроксимації, стійкості, консервативності.

АпроксимаціяРедагувати

Кажуть, що диференційний оператор  , певний на функціях  , заданих в області  , апроксимується на деякому класі функцій   скінченно-різницевим оператором  , певним на функціях  , заданих на сітці, що залежить від кроку  , якщо виконується умова збіжності

 

Кажуть, що апроксимація має порядок точності  , якщо

 

де   - константа, що залежить від конкретної функції  , але не залежить від кроку  . Норма, використана вище, може бути різною, і поняття апроксимації залежить від її вибору. Часто використовується дискретний аналог норми рівномірної неперервності:

 

іноді використовуються дискретні аналоги інтегральних норм.

Приклад. Апроксимація оператора   скінченно-різницевим оператором

 

на обмеженому інтервалі   має другий порядок точності на класі гладких функцій  .

Скінченно-різницева задача апроксимує диференціальну задачу, і апроксимація має порядок точності  , якщо і саме диференціальне рівняння, і граничні (і початкові) умови апроксимуються відповідними скінченно-різницевими операторами з порядком точності не нижче  .

Приклад. Апроксимація рівняння теплопровідності   (різницева схема в часткових похідних) скінченно-різницевим рівнянням  , де

 
 

має другий порядок точності по координаті і перший порядок точності за часом на класі   гладких функцій.

СтійкістьРедагувати

Умови апроксимації недостатньо для того, щоб результат різницевої схеми наближався до точного відповіді при h→0. У разі схем, коефіцієнти яких не залежать від рішення диференціального рівняння, необхідним є дотримання умови стійкості. Такі схеми можна уявити як певний лінійний оператор, який перетворює значення функції в момент t в значення функції в момент t+h. Умова стійкості вимагає, щоб власні числа (взагалі кажучи комплексні) цього оператора не перевищували по модулю 1+ch , де c - деяка константа, при h→0. Якщо ця умова не виконана, то похибки схеми швидко зростають і результат тим гірше, чим менше крок. Якщо виконані як умова апроксимації, так і умова стійкості, то результат різницевої схеми сходиться до вирішення диференціального рівняння (теорема Філіппова-Рябенького).

Умова КурантаРедагувати

Умова Куранта - швидкість розповсюдження збурень в різницевій задачі не повинна бути менше, ніж в диференціальної. Якщо ця умова не виконана, то результат різницевої схеми може не прагнути до вирішення диференціального рівняння. Іншими словами, за один крок за часом частка не повинна «пробігати» більш одного осередку.

У разі схем, коефіцієнти яких не залежать від рішення диференціального рівняння, умова Куранта випливає з стійкості.

Для гіперболічних систем рівнянь ця умова часто має вигляд

 

(  - крок за часом,   - крок просторової сітки,   - максимальне по модулю власне значення в точці. Мінімум береться по всіх точках сітки.)

Класифікація схемРедагувати

Явні схемиРедагувати

Явні схеми обчислюють значення сіткової функції через дані сусідніх точок. Приклад явної схеми для диференціювання:   (2-й порядок апроксимації). Явні схеми часто виявляються нестійкими.

Згідно з теоремою Годунова, серед лінійних різницевих схем для рівняння переносу з порядком апроксимації вище першого немає монотонних.

Неявні схемиРедагувати

Неявні схеми використовують рівняння, які виражають дані через кілька сусідніх точок результату. Для знаходження результату вирішується система лінійних рівнянь. Приклад неявної схеми для рівняння струни:  . Неявні схеми зазвичай є стійкими.

Напівнеявні схемиРедагувати

На одних етапах застосовується явна схема, на інших - неявна (як правило, ці кроки чергуються).
Приклад - Схема Кранка-Ніколсон, коли рішення береться у вигляді середнього від явної і неявної схеми рішення для підвищення точності

Компактні схемиРедагувати

Компактні схеми використовують рівняння, які пов'язують значення результату в декількох сусідніх точках з значеннями даних в декількох сусідніх точках. Це дозволяє підвищити порядок апроксимації. Приклад компактної схеми для диференціювання:   (4-й порядок апроксимації).

Консервативні схемиРедагувати

Коли різницева схема задовольняє тим же інтегральним співвідношенням (наприклад, збереження енергії, ентропії), що і початкове диференціальне рівняння, то говорять про властивості консервативності. Консервативні схеми зазвичай представляються в дивергентному вигляді.

Приклади консервативних схем гідродинаміки - схема Самарського, метод великих часток Білоцерківського.

Схеми на зміщених сіткахРедагувати

У цих схемах сітки, на яких заданий результат, і дані зміщені відносно один одного. Наприклад, точки результату знаходяться посередині між точками даних. У деяких випадках це дозволяє використовувати більш прості граничні умови.

Див. такожРедагувати