Рівняння Кеплера

рівняння, що описує рух тіла по еліптичній орбіті в задачі двох тіл

Рівня́ння Ке́плера описує рух тіла по еліптичній орбіті в задачі двох тіл і має вигляд:

Анімація, що ілюструє справжню аномалію, ексцентричну аномалію, середню аномалію і розв'язок рівняння Кеплера (у правому верхньому куті), ексцентриситет — 0,6.

де  — ексцентрична аномалія,  — ексцентриситет орбіти, а  — середня аномалія.

Вперше це рівняння отримав астроном Йоганн Кеплер у 1619 році. Відіграє значну роль у небесній механіці.

Варіанти рівняння КеплераРедагувати

Рівняння Кеплера в класичній формі описує рух лише по еліптичних орбітах, тобто при  . Рух по гіперболічних орбітах   підкоряється гіперболічному рівняння Кеплера, схожому за формою з класичним. Рух по прямій лінії   описує радіальне рівняння Кеплера. Нарешті, для опису руху по параболічній орбіті   використовують рівняння Баркера. При   орбіт не існує.

Завдання, що приводить до рівняння КеплераРедагувати

Розглянемо рух тіла по орбіті в полі іншого тіла. Знайдемо залежність положення тіла на орбіті від часу. З II закону Кеплера випливає, що

 .

Тут   — відстань від тіла до гравітуючого центра,   — істинна аномалія — кут між напрямками на перицентр орбіти й на тіло,   — добуток гравітаційної сталої на масу гравітуючого тіла,   — велика піввісь орбіти. Звідси можна отримати залежність часу руху по орбіті від істинної аномалії:

 .

Тут   — час проходження через перицентр.

Подальше розв'язування задачі залежить від типу орбіти, по якій рухається тіло.

Еліптична орбітаРедагувати

Рівняння еліпса в полярних координатах має вигляд

 

Тоді рівняння часу набуває вигляду

 

Для того, щоб взяти інтеграл вводять таку підстановку:

 

Величина E називається ексцентричною аномалією. Завдяки такій підстановці інтеграл легко береться. Виходить таке рівняння:

 

Величина   є середньою кутовою швидкістю руху тіла по орбіті. В небесній механіці для цієї величини використовується термін середній рух. Добуток середнього руху на час називається середньою аномалією M. Ця величина являє собою кут, на який повернувся б радіус-вектор тіла, якби воно рухалося по коловій орбіті з радіусом, рівним великій півосі орбіти тіла.

Таким чином отримуємо рівняння Кеплера для еліптичного руху:

 

Гіперболічна орбітаРедагувати

Рівняння гіперболи в полярних координатах має такий самий вигляд, як і рівняння еліпса. Отже, інтеграл виходить такий самий на вигляд. Однак, використовувати ексцентричну аномалію в цьому випадку не можна. Скористаємося параметричним поданням гіперболи:  ,  . Тоді рівняння гіперболи набуває вигляду

 ,

а зв'язок між   і  

 .

Завдяки такій підстановці інтеграл набуває такої ж форми, що й у випадку з еліптичною орбітою. Після проведення перетворень отримуємо гіперболічне рівняння Кеплера:

 

Величину   називають гіперболічною ексцентричною аномалією. Оскільки  , то останнє рівняння можна перетворити таким чином:

 .

Звідси видно, що  .

Параболічна орбітаРедагувати

Рівняння параболи в полярних координатах має вигляд

 

де   — відстань до перицентра. Другий закон Кеплера для випадку руху по параболічній траєкторії

 

Звідки одержуємо інтеграл, що визначає час руху

 

Вводимо універсальну тригонометричну заміну

 

і перетворюємо інтеграл

 

остаточно одержуємо

 

Останнє співвідношення відоме в небесній механіці як рівняння Баркера.

Радіальна орбітаРедагувати

Радіальною називається орбіта, що являє собою пряму лінію, яка проходить через притягальний центр. У цьому випадку вектор швидкості спрямований уздовж траєкторії і трансверсальна складова відсутня[1], отже

 

Зв'язок між положенням тіла на орбіті і часом знайдемо з енергетичних міркувань

 

 

— інтеграл енергії. Звідси маємо диференціальне рівняння

 

Розділяючи змінні в цьому рівнянні, приходимо до інтегралу

 

спосіб обчислення якого визначається знаком константи  . Виділяють три випадки

  •   — прямолінійно-еліптична орбіта

Відповідає випадку, коли повна механічна енергія тіла від'ємна, і, віддалившись на деяку найбільшу відстань, від притягального центра, воно почне рухатися у зворотному напрямі. Це аналогічно руху по еліптичній орбіті. Для обчислення інтеграла введемо заміну

 

обчислюємо інтеграл

 

Вважаючи  , запишемо результат

 

прийнявши за (недосяжний в реальності) умовний перицентр  , і напрямок початкової швидкості від притягального центра, отримаємо так зване радіальне рівняння Кеплера, що зв'язує відстань від притягального центра з часом руху

 

де  .


  •   — прямолінійно-параболічна орбіта

Занедбане радіально тіло піде на нескінченність від притягального центра, маючи на нескінченності швидкість, рівну нулю. Відповідає випадку руху з параболічною швидкістю. Найпростіший випадок, бо не вимагає заміни в інтегралі

 

Беручи початкові умови першого випадку, отримуємо явний закон руху

 

  •   — прямолінійно-гіперболічна орбіта

Відповідає віддаленню від притягального центра на нескінченність. На нескінченності тіло буде мати швидкість,  . Вводимо заміну

 

і обчислюємо інтеграл

 

Вважаючи  , отримуємо

 

Вважаючи початкові умови аналогічними першому випадку, маємо гіперболічне радіальне рівняння Кеплера

 

де  

Розв'язок рівняння КеплераРедагувати

Розв'язок рівняння Кеплера в еліптичному і гіперболічному випадках існує і єдиний за будь-яких дійсних M[2]. Для колової орбіти (e = 0) рівняння Кеплера набуває тривіального вигляду М = E. В загальному вигляді рівняння Кеплера трансцендентне. Воно не розв'язується в алгебраїчних функціях. Однак, його розв'язок можна знайти різними способами за допомогою збіжних рядів. Загальний розв'язок рівняння Кеплера можна записати за допомогою рядів Фур'є:

 ,

де

 

функція Бесселя.

Цей ряд збігається, коли величина ε не перевищує значення границі Лапласа.

Наближені методиРедагувати

Серед чисельних методів розв'язування рівняння Кеплера часто використовують метод нерухомої точки («метод простої ітерації») і метод Ньютона[3]. Для еліптичного випадку в методі нерухомої точки за початкове значення E0 можна взяти M, а послідовні наближення мають такий вигляд[2]:

 

В гіперболічному випадку метод нерухомої точки подібним чином використовувати не можна, однак цей метод дає можливість вивести для такого випадку іншу формулу наближень (з гіперболічним арксинусом)[2]:

 

ПриміткиРедагувати

  1. Лукьянов, Ширмин, 2009, с. 70—71.
  2. а б в Балк М. Б. Решение уравнения Кеплера // Элементы динамики космического полета. — М. : Наука, 1965. — С. 111—118. — (Механика космического полета)
  3. Балк М. Б., Демин В.Г., Куницын А.Л. Решение уравнения Кеплера // Сборник задач по небесной механике и космодинамике. — М. : Наука, 1972. — С. 63.

ЛітератураРедагувати

  • Д. Е. Охоцимский, Ю. Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета. — Москва : «Наука», 1990.
  • В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. — Фрязино, 2006. — С. 480. — ISBN ISBN 5-85099-168-9.
  • Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.
  • Лукьянов Л.Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике. — Алматы, 2009. — С. 276.