Рівносторонній багатокутник

багатокутник, у якого всі сторони рівні

Рівносторонній багатокутник — багатокутник, у якого всі сторони рівні. Наприклад, рівносторонній трикутник — це трикутник, у якого всі три сторони однакові; всі рівносторонні трикутники подібні і мають внутрішні кути[en] 60 градусів. Рівносторонній чотирикутник — це ромб і квадрат, який є частковим випадком ромба.

Рівносторонній трикутник, завжди є правильним трикутником
Рівносторонній чотирикутник (ромб)

ВластивостіРедагувати

Рівносторонній багатокутник, який також і рівнокутний є правильним багатокутником.

Рівносторонній багатокутник, уписаний в коло (його вершини лежать на колі) є правильним багатокутником (тобто багатокутником, одночасно і рівностороннім, і рівнокутним).

Описаний багатокутник (у якого існує коло, що дотикається всіх його сторін) є рівностороннім в тому і тільки в тому випадку, коли кути через один рівні (тобто, при послідовній нумерації кутів кути з номерами 1, 3, 5, … рівні і кути 2, 4, … рівні). Таким чином, якщо   — непарне, описаний багатокутник є рівностороннім тоді й лише тоді, коли він правильний[1].

Всі рівносторонні чотирикутники опуклі[en], але існують вгнуті[en] рівносторонні п'ятикутники, як і опуклі рівносторонні багатокутники з більшим числом сторін.

Кожна головна діагональ шестикутника ділить його на чотирикутники. В будь-якому опуклому рівносторонньому шестикутнику із спільною стороною   існує[2] головна діагональ  , така що:

 ,

і головна діагональ  , така, що:

 .

Існує скінченна послідовність елементарних відбиттів, які переводять будь-який рівносторонній багатокутник у правильний[3][4].

Теорема ВівіаніРедагувати

Докладніше: Теорема Вівіані

Теорема Вівіані в частині сталості суми відстаней від довільної внутрішньої точки до кожної із сторін узагальнюється для рівносторонніх багатокутників[5]. Дійсно, якщо подати сторони багатокутника у вигляді векторів  , при тому вибравши напрямки так, щоб кінець одного вектора був початком іншого, то сума цих векторів дорівнює нулю, а отже:

 ,  .

Без применшення загальності можна вважати, що всі довжини векторів дорівнюють 1. Повернувши всі вектори на 90° в одному напрямку, отримаємо вектори  , і всі вони будуть нормалями до сторін. Рівняння прямої, що проходить через сторону   буде задаватися рівнянням  . Оскільки довжина вектора дорівнює одиниці, відстань до прямої від будь-якої точки   площини дорівнює   (відстань може бути від'ємною — залежить від того, в якій півплощини лежить точка), а сума відстаней дорівнює  , тобто, не залежить від положення точки.

Площа і периметр рівносторонніх багатокутниківРедагувати

  • Якщо   непарне, то правильний  -кутник одиничного діаметра дає найбільшу можливу площу і периметр[6].
  • Правильний  -кутник є єдиним розв'язком задачі знаходження найбільшої площі фігури одиничного діаметра, якщо   непарне, але в задачі знаходження найбільшого периметра за непарного   розв'язок єдиний тільки для простих  .
  • Якщо   парне і  , то правильний  -кутник одиничного діаметра не дає ні найбільшої площі, ні найбільшого периметра.
  • Якщо   має непарний дільник, то будь-який багатокутник з найбільшим периметром є рівностороннім.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вип. 95 (1 березня). — С. 102-107.
  2. Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum», [1]. p.184,#286.3
  3. Godfried Toussaint. The Erds–Nagy theorem and its ramifications // Computational Geometry. — 2005. — Вип. 31 (16 квітня). — С. 219-236.
  4. Kenneth C. Millett. Knotting of regular polygons in 3-space // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 1994. — Т. 3, вип. 3 (16 квітня). — С. 263-278.
  5. Elias Abboud. On Viviani’s Theorem and its Extensions // College Mathematics Journal. — 2021. — Т. 43 (3) (16 березня).
  6. Michael J. Mossinghoff. An Isodiametric Problem for Equilateral Polygons // Contemporary Mathematics. — 2008. — Т. 457, (16 квітня).

ПосиланняРедагувати