Рівносторонній многокутник

Рівносторонній многокутник — многокутник, у якого всі сторони рівні. Наприклад, рівносторонній трикутник — це трикутник, у якого всі три сторони однакові; всі рівносторонні трикутники подібні і мають внутрішні кути 60 градусів. Рівносторонній чотирикутник — це ромб і квадрат, який є частковим випадком ромба.

Рівносторонній трикутник, завжди є правильним трикутником

Рівносторонній чотирикутник (ромб)

Властивості

Рівносторонній многокутник, який також і рівнокутний є правильним многокутником.

Рівносторонній многокутник, уписаний в коло (його вершини лежать на колі) є правильним многокутником (тобто многокутником, одночасно і рівностороннім, і рівнокутним).

Описаний многокутник (у якого існує коло, що дотикається всіх його сторін) є рівностороннім в тому і тільки в тому випадку, коли кути через один рівні (тобто, при послідовній нумерації кутів кути з номерами 1, 3, 5, … рівні і кути 2, 4, … рівні). Таким чином, якщо $n$ — непарне, описаний многокутник є рівностороннім тоді й лише тоді, коли він правильний.

Всі рівносторонні чотирикутники опуклі рівносторонні п'ятикутники, як і опуклі рівносторонні многокутники з більшим числом сторін.

Кожна головна діагональ шестикутника ділить його на чотирикутники. В будь-якому опуклому рівносторонньому шестикутнику із спільною стороною $a$ існує головна діагональ $d_{1}$, така що:

${\frac {d_{1}}{a}}\leqslant 2$,

і головна діагональ $d_{2}$, така, що:

${\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}$.

Існує скінченна послідовність елементарних відбиттів, які переводять будь-який рівносторонній многокутник у правильний.

Теорема Вівіані

Теорема Вівіані в частині сталості суми відстаней від довільної внутрішньої точки до кожної із сторін узагальнюється для рівносторонніх многокутників. Дійсно, якщо подати сторони многокутника у вигляді векторів $(a_{i},b_{i})$, при тому вибравши напрямки так, щоб кінець одного вектора був початком іншого, то сума цих векторів дорівнює нулю, а отже:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0$, $\sum _{i=1}^{n}b_{i}=0$.

Без применшення загальності можна вважати, що всі довжини векторів дорівнюють 1. Повернувши всі вектори на 90° в одному напрямку, отримаємо вектори $(-b_{i},a_{i})$, і всі вони будуть нормалями до сторін. Рівняння прямої, що проходить через сторону $i$ буде задаватися рівнянням $-b_{i}x+a_{i}y+c_{i}=0$. Оскільки довжина вектора дорівнює одиниці, відстань до прямої від будь-якої точки $(x,y)$ площини дорівнює $-b_{i}x+a_{i}y+c_{i}$ (відстань може бути від'ємною — залежить від того, в якій півплощині лежить точка), а сума відстаней дорівнює $\sum _{i=1}^{n}(-b_{i}x+a_{i}y+c_{i})=-x\sum _{i=1}^{n}b_{i}+y\sum _{i=1}^{n}a_{i}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}$, тобто, не залежить від положення точки.

Площа і периметр рівносторонніх многокутників

• Якщо $n$ непарне, то правильний $n$-кутник одиничного діаметра дає найбільшу можливу площу і периметр.
• Правильний $n$-кутник є єдиним розв'язком задачі знаходження найбільшої площі фігури одиничного діаметра, якщо $n$ непарне, але в задачі знаходження найбільшого периметра за непарного $n$ розв'язок єдиний тільки для простих $n$.
• Якщо $n$ парне і $n\geqslant 6$, то правильний $n$-кутник одиничного діаметра не дає ні найбільшої площі, ні найбільшого периметра.
• Якщо $n$ має непарний дільник, то будь-який многокутник з найбільшим периметром є рівностороннім.

Див. також

• Рівносторонній п'ятикутник

Посилання

• Equilateral triangle з інтерактивною анімацією
• A Property of Equiangular Polygons: What Is About It? обговорення теореми Вівіані на Cut the knot.