Рівномірна збіжність

Рівномірна збіжність послідовності функцій — властивість послідовності $f_{n}:X\to Y$, де $X$ — довільна множина, $Y=(Y,d)$ — метричний простір, $n=1,2,\dots$ збігається до функції (відображення) $f:X\to Y$, що означає, що для будь-якого $\varepsilon >0$ існує такий номер $N_{\varepsilon }$, що для всіх номерів $n>N_{\varepsilon }$ і всіх точок $x\in X$ виконується нерівність

$d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon .$

Ця умова рівнозначна тому, що

$\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in X}d(f_{n}(x),f(x))=0.$

Зазвичай позначається$f_{n}\rightrightarrows f$. $f$ називається рівномірною границею послідовності функцій $f_{n}$ на множині X.

Приклад

• Послідовність $f_{n}(x)=x^{n}$, $n=1,2,\dots$ рівномірно збігається на будь-якому відрізку $[0,a]$, $0<a<1$ і не збігається рівномірно на відрізку $[0,1]$.

Властивості

• Із рівномірної збіжності випливає поточкова збіжність на тій же множині.

• Якщо $Y$ — нормований простір і послідовності відображень $f_{n}:X\to Y$ і $g_{n}:X\to Y$, $n=1,2,\dots$ рівномірно збігаються на множині $X$, то послідовності $\{f_{n}+g_{n}\}$ також як і $\{\alpha f_{n}\}$ при будь-яких $\alpha \in \mathbb {R}$ також рівномірно збігаются на $X$.

• Для дійсно-значних функцій, послідовність відображень $f_{n}:X\to \mathbb {R}$, рівномірно збігається на множині $X$ та $g:X\to \mathbb {R}$ обмежене відображення, то послідовність $\{gf_{n}\}$ також рівномірно збігається на $X$.

• Якщо $X$ — топологічний простір, $Y$ — метричний простір та послідовність неперервних в точці $x_{0}\in X$ відображень $f_{n}:X\to Y$ рівномірно збігається на множині $X$ до відображеня $f:X\to Y$, то це відображення також неперервно в точці $x_{0}$.

• Якщо послідовність інтегровних за Ріманом (за Лебегом) функцій $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$ рівномірно збігається на відрізку $[a,b]$ до функції $f:[a,b]\to \mathbb {R}$, то ця функція також інтегровна за Ріманом (відповідно за Лебегом), і для кожного $x\in [a,b]$ має місце рівність
      $\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$
  і збіжність послідовності функцій
      $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt$
  на відрізку $[a,b]$ до функції
      $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f(t)dt$
  рівномірна.

• Якщо послідовність неперервно диференційовних на відрізку $[a,b]$ функцій $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$, збігається у деякій точці $x_{0}$, a послідовність їх похідних рівномірно збігається на $[a,b]$, то послідовність $\{f_{n}\}$ також рівномірно збігається на $[a,b]$, її границя є неперервно диференційовною функцією на цьому відрізку.

Див. також

• Квазірівномірна збіжність
• Теорема Діні
• Теорема Єгорова

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.. М., 1981;
• Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.