Поліноміальний розподіл

У теорії імовірностей поліноміальний розподіл є узагальненням біноміального розподілу. Біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей числа успіхів у незалежній схемі випробувань Бернуллі, з тією ж самою імовірністю успіху в кожному випробуванні.

Поліноміальний розподіл
Параметри	$n>0$ $p_{1},\ldots p_{k}$ ($\Sigma p_{i}=1$)
Носій функції	$X_{i}\in \{0,\dots ,n\}$ $\Sigma X_{i}=n\!$
Розподіл імовірностей	${\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}$
Середнє	$E\{X_{i}\}=np_{i}$
Дисперсія	${\mathrm {Var} }(X_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ ${\mathrm {Cov} }(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}$ ($i\neq j$)
Твірна функція моментів (mgf)	$\left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}\right)^{n}$

Означення

Нехай $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — незалежні однаково розподілені випадкові величини, такі, що їх розподіл задається функцією імовірності:

$\mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k$.

Інтуїтивно подія $\{X_{i}=j\}$ означає, що дослід з номером $i$ привів до $j$. Нехай випадкова величина $Y_{j}$ дорівнює кількості дослідів, що приводять до результату $j$:

$Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k$.

Тоді розподіл вектора $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top }$ Має функцію імовірності

$p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}p_{1}^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{i}=n\\0,&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{i}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k})^{\top }\in \mathbb {N} _{0}^{k}$,

де

${n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!}}$ —

мультиноміальний коефіцієнт.

Вектор середніх і матриця коваріації

Математичне сподівання випадкової величини $Y_{j}$ має вигляд: $\mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j}$. Діагональні елементи матриці коваріації $\Sigma =(\sigma _{ij})$ є дисперсіями біноміальних випадкових величин, а тому

$\sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k$.

Для інших елементів маємо

$\sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j$.

Ранг матриці коваріації мультиноміального розподілу дорівнює $k-1$.

Див. також

• Біноміальний розподіл
• Закон розподілу
• Розподіл ймовірностей
• Функція розподілу ймовірностей

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)