Нескінченновимірний простір
Нескінченновимірний простір — векторний простір із нескінченно великою розмірністю. Вивчення нескінченновимірних просторів і їх відображень є головним завданням функціонального аналізу. Найпростішими нескінченновимірними просторами є гільбертові простори, найближчі за властивостями до скінченновимірних евклідових просторів[1].
| Нескінченновимірний простір | |
| Названо на честь | Georg Hameld |
|---|---|
| Досліджується в | лінійна алгебра |
| Is invariant under | лінійний ізоморфізмd |
| Є кількістю | базисний вектор[d] |
 Нескінченновимірний простір у Вікісховищі | |
Визначення ред.
Лінійний векторний простір називають нескінченновимірним, якщо для будь-якого цілого числа у ньому знайдеться лінійно незалежна система, що складається з векторів[2][3].
Базис ред.
Для нескінченновимірного простору існують різні визначення базису. Так, наприклад, базис Гамеля визначають як множину векторів у лінійному просторі, таких, що будь-який вектор простору можна подати у вигляді деякої їх скінченної лінійної комбінації єдиним чином.
Для топологічних векторних просторів можна визначити базис Шаудера. Система елементів утворює базис Шаудера простору , якщо кожен елемент можна подати єдиним чином у вигляді збіжного ряду [4]. Базис Шаудера існує не завжди.
Приклади ред.
- Лінійний простір неперервних на даному проміжку функцій[2].
- Гільбертів простір, утворений нескінченною послідовністю чисел зі збіжною сумою квадратів [5].
- Множина всіх многочленів[6].
- Фазовий простір у статистичній фізиці є майже нескінченновимірним.[7]
- Простір квадратично-сумованих послідовностей[ru]
Властивості ред.
- Нескінченновимірний простір не ізоморфний ніякому скінченновимірному[8].
Див. також ред.
Примітки ред.
- ↑ Функциональный анализ // Математичний енциклопедичний словник[ru] / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 613—615
- ↑ а б Ефимов, 2004, с. 33.
- ↑ Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 17
- ↑ Крейн, 1964, с. 74.
- ↑ Шилов, 1961, с. 182.
- ↑ Ефимов, 2004, с. 42.
- ↑ Манин Ю. И. Математика как метафора. — М., МЦНМО, 2008. — ISBN 978-5-94057-287-9. — с. 148
- ↑ Ефимов, 2004, с. 39.
Література ред.
- Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М. : Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М. : Наука, 1961. — 436 с.
- під ред. Крейна С.Г. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1964. — 424 с. — 17500 прим.