Розмірність Гаусдорфа

Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює , де  — мінімальне число множин діаметра , якими можна покрити множину. Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Гаусдорфова розмірність скінченної множини рівна нулю, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатного об'єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Гаусдорфа може набувати дробових значень.

Трикутник Серпінського. Простір з фрактальною розмірністю log2 3 або ln3/ln2, що прибл. дорівнює 1.585

ОзначенняРедагувати

Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай  — обмежена множина у метричному просторі . Наприклад, нехай .

-покриттяРедагувати

Нехай . Не більш ніж зліченну сім'ю підмножин простору будемо називати -покриттям множини , якщо виконуються такі дві властивості:

  • для всіх діаметр (для всіх діаметр множин менший за .

ρ-міра ГаусдорфаРедагувати

Нехай . Нехай  — покриття множини . Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: . Позначимо через «мінімальний розмір» -покриття множини : , де інфімум береться по всіх -покриттях множини . Очевидно, що функція спадає по . Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при : . Величина називається -мірою Гаусдорфа множини .

Властивості ρ-міри ГаусдорфаРедагувати

  • -міра Гаусдорфа є борелівською мірою на .
  • з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; - міра Гаусдорфа множин у збігається з їхнім -мірним об'ємом.
  • спадає по . Більш того для будь-якої множини існує критичне значення , таке, що:
    • для всіх
    • для всіх Значення може бути нульовим, скінченним або нескінченним.

Визначення розмірності ГаусдорфаРедагувати

Розмірністю Гаусдорфа множини називається число з попереднього пункту.

Властивості розмірності ГаусдорфаРедагувати

  • Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню розмірності Мінковського.
  • Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
  • Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на   частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами  , то її розмірність   є розв'язком рівняння  . Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює   (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського —   (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Федер Е. (1991). Фракталы. М.: МИР. с. 254. ISBN 5-03-001712-7. 

ДжерелаРедагувати

  • Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
  • А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
  • Пайтген Х. О. Рихтер П. Х. Красота фракталов.
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах
  • Божокин С. В. Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы.
  • K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
  • Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7
  • Стаття в англомовній вікіпедії