Раціональна поверхня

поверхня, біраціонально еквівалентна проєктивній площині; раціональний многовид розмірності 2

Раціональна поверхня — це поверхня, біраціонально еквівалентна проєктивній площині, або, іншими словами, раціональний многовид[en] розмірності два. Раціональні поверхні є найпростішими з приблизно 10 класів поверхонь класифікації Енрікеса — Кодайри комплексних поверхонь, і це були перші досліджені поверхні.

СтруктураРедагувати

Будь-яку неособливу раціональну поверхню можна отримати неодноразовим роздуттям мінімальної раціональної поверхні. Мінімальними раціональними поверхнями є проєктивна площина і поверхні Гірцебруха[en]   для   або  .

Інваріанти: Всі плюрироди[en][уточнити] рівні 0 і фундаментальна група тривіальна.

Ромб Ходжа:

         1
      0     0
   1    1+n    1,
      0     0
         1

де n дорівнює 0 для проєктивної площини, 1 для поверхонь Гірцебруха[en] і більше від 1 для інших раціональних поверхонь.

Група Пікара[en] є непарною унімодулярною ґраткою  , за винятком поверхонь Гірцебруха  , для яких це парна унімодулярна ґратка  .

Теорема КастельнуовоРедагувати

Гвідо Кастельнуово довів, що будь-яка комплексна поверхня, для якої   і   (іррегулярність і другий плюрирод) дорівнюють нулю, є раціональною. Це використовується в класифікації Енрікеса — Кодайри для розпізнавання раціональних поверхонь. Зарицький[1] довів, що теорема Кастельнуово істинна також для полів додатної характеристики.

З теореми Кастельнуово випливає також, що будь-яка уніраціональна[en] комплексна поверхня раціональна. Більшість уніраціональних комплексних многовидів розмірності 3 і вище не є раціональними. Для характеристики   Зарицький[1] знайшов приклад уніраціональних поверхонь (поверхні Зарицького[en]), які не є раціональними.

Деякий час було неясно, чи є комплексні поверхні з нульовими   і   раціональними, але Федеріго Енрікес знайшов контрприклад (поверхня Енрікеса[en]).

Приклади раціональних поверхоньРедагувати

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

ЛітератураРедагувати