Відкрити головне меню
Геометричне представлення різних математичних середніх. a, b - два числа. A = арифметичне середнє чисел 'a' і 'b'. G = геометричне середнє, H = гармонійне середнє, Q = середнє квадратичне
Порівняння арифметичних, геометричних і гармонійних середніх пар чисел. Вертикальні пунктирні лінії є асимптотами для гармонійних.

У математиці три класичні засоби Піфагорових середніх: середнє арифметичне (AM), середнє геометричне (GM) і середнє гармонійне (HM). Ці засоби були пропорційно вичені піфагорійцями разом з більш пізніним поколінням грецьких математиків[1], через їхню важливість у геометрії та музиці.

ВизначенняРедагувати

Вони визначаються так:

 

ВластивостіРедагувати

Кожне значення   має наступні властивості:

Збереження цінності
 
Однорідна функція першої послідовності
 
Інваріантність при обміні
 
для будь-якої   та  .
Виведення середньої величини
 

Гармонійні і арифметичні середні є взаємними двійниками один-одного для позитивних аргументів:

 

в той час як середнє геометричне - це його власна взаємна подвійність:

 

Нерівності серед середніхРедагувати

Існує впорядкування цих середніх (якщо всі   позитивні)

 

з рівноправністю, тільки якщо всі   рівні.

Це узагальнення нерівності арифметичних і геометричних середніх і окремий випадок нерівності для середнього степеневого. Доказ випливає з арифметико-геометричної середньої нерівності,   та взаємної подвійності (  і   також взаємні подвійні).

Вивчення піфагорові середніх тісно пов'язане з вивченням мажоризації[en] й шур-опуклої функції[en]. Гармонійними і геометричними середніми є увігнуті симетричні функції їхніх аргументів.

ПриміткиРедагувати

  1. Heath, Thomas. History of Ancient Greek Mathematics. 

ПосиланняРедагувати