Простір станів (теорія керування)

Простір станів — у теорії керування один з основних методів опису поведінки динамічної системи. Рух системи в просторі станів відбиває зміну її станів.

Визначення

Простір станів зазвичай називають фазовим простором динамічної системи, а траєкторію руху, що зображає точки в цьому просторі — фазовою траєкторією.

У просторі станів створюється модель динамічної системи, що включає набір змінних входу, виходу і стану, пов'язаних між собою диференціальними рівняннями першого порядку, які записуються в матричній формі. На відміну від опису у вигляді передавальної функції та інших методів частотної області, простір станів дозволяє працювати не тільки з лінійними системами і нульовими початковими умовами. Крім того, в просторі станів відносно просто працювати з MIMO-системами.

Лінійні неперервні системи

Структурна схема неперервної лінійної системи, описаної у вигляді змінних стану

Для випадку лінійної системи з $p$ входами, $q$ виходами і $n$ змінними стану опис має вигляд:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)$

де

$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ; $y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ ; $u(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ ;

$\operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n$, $\operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p$, $\operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n$, $\operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p$, ${\dot {\mathbf {x} }}(t):={d\mathbf {x} (t) \over dt}$ :

$x(\cdot )$ — вектор стану, елементи якого називають станами системи

$y(\cdot )$ — вектор виходу,

$u(\cdot )$ — вектор керування,

$A(\cdot )$ — матриця системи,

$B(\cdot )$ — матриця керування,

$C(\cdot )$ — матриця виходу,

$D(\cdot )$ — матриця прямого зв'язку.

Часто матриця $D(\cdot )$ є нульовою, це означає, що в системі немає явного прямого зв'язку .

Дискретні системи

Для дискретних систем запис рівнянь у просторі ґрунтується не на диференціальних, а на різницевих рівняннях:

$\mathbf {x} (nT+T)=A(nT)\mathbf {x} (nT)+B(nT)\mathbf {u} (nT)$

$\mathbf {y} (nT)=C(nT)\mathbf {x} (nT)+D(nT)\mathbf {u} (nT)$

Нелінійні системи

Нелінійну динамічну систему n-го порядку можна описати у вигляді системи з n рівнянь 1-го порядку:

${\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1}(t);\ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t))$

$\vdots$

${\dot {x}}_{n}=f_{n}(x_{1}(t);\ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t))$

або в компактнішій формі:

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))$

$\mathbf {y} (t)=\mathbf {h} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))$.

Перше рівняння — це рівняння стану, друге — рівняння виходу.

Лінеаризація

У деяких випадках можлива лінеаризація опису динамічної системи для околу робочої точки $(\mathbf {\tilde {x}} ,\mathbf {\tilde {u}} )$ . У сталому режимі $(\mathbf {\tilde {u}} =const)$ для робочої точки $\mathbf {\tilde {x}} =const,$ справедливий такий вираз:

$\mathbf {\dot {x}} =\mathbf {f} (\mathbf {\tilde {x}} ,\mathbf {\tilde {u}} )=\mathbf {0}$

Вводячи позначення:

$\delta \mathbf {u} =\mathbf {u} -\mathbf {\tilde {u}}$

$\delta \mathbf {x} =\mathbf {x} -\mathbf {\tilde {x}}$

Розклад рівняння стану $\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))$ в ряд Тейлора, обмежений першими двома членами дає такий вираз:

$\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))\approx \mathbf {f} (\mathbf {\tilde {x}} (t),\mathbf {\tilde {u}} (t))+{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}\delta \mathbf {x} +{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}\delta \mathbf {u}$

При взятті часткових похідних вектор-функції $\mathbf {f}$ за вектором змінних станів $\mathbf {x}$ і вектором вхідних впливів $\mathbf {u}$ виходять матриці Якобі відповідних систем функцій:

${\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}$ .

Аналогічно для функції виходу:

${\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}$

З огляду на $\delta \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {\dot {x}} -\mathbf {\dot {\tilde {x}}} =\mathbf {\dot {x}}$, лінеаризований опис динамічної системи в околі робочої точки набуде вигляду: де

$\mathbf {A} ={\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}\quad \mathbf {B} ={\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}\quad \mathbf {C} ={\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}\quad \mathbf {D} ={\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}$ .

Приклади

Модель у просторі станів для маятника

Маятник є класичною вільною нелінійною системою. Математично рух маятника описує таке співвідношення:

$ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)$

де

• $\theta (t)$ — кут відхилення маятника.
• $m$ — зведена маса маятника
• $g$ — прискорення вільного падіння
• $k$ — коефіцієнт тертя в підшипнику підвісу
• $l$ — довжина підвісу маятника

У такому випадку рівняння в просторі станів матимуть вигляд:

${\dot {x_{1}}}(t)=x_{2}(t)$

${\dot {x_{2}}}(t)=-{\frac {g}{l}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m}}{x_{2}}(t)$

де

• $x_{1}(t):=\theta (t)$ — кут відхилення маятника
• $x_{2}(t):={\dot {x_{1}}}(t)$ — кутова швидкість маятника
• ${\dot {x_{2}}}(t):={\ddot {x_{1}}}(t)$ — кутове прискорення маятника

Запис рівнянь стану в загальному вигляді:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left({\begin{matrix}{\dot {x_{1}}}(t)\\{\dot {x_{2}}}(t)\end{matrix}}\right)=\mathbf {f} (t,x(t))=\left({\begin{matrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{l}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m}}{x_{2}}(t)\end{matrix}}\right)$ .

Лінеаризація моделі маятника

Лінеаризована матриця системи для моделі маятника в околі точки рівноваги $\left({\tilde {x}}_{1}=0\right)$ має вигляд:

${\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}=\left({\begin{matrix}0&\ 1\\-{\frac {g}{l}}\cos {{\tilde {x}}_{1}}&\ -{\frac {k}{m}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&\ 1\\-{\frac {g}{l}}&\ -{\frac {k}{m}}\end{matrix}}\right)$

За відсутності тертя в підвісі k = 0 отримаємо рівняння руху математичного маятника:

${\ddot {x}}=-{\frac {g}{l}}x$

Див. також

• Теорія керування
• Фазовий простір
• Критерій стійкості в просторі станів
• Простір понять
• Система відліку
• Модальне керування

Література

• книги

• статті

Посилання

• Вихідні диференціальні рівняння САР (рос.)