Простір стовпців (рядків) матриці

Матриця

$\mathbf {A} =\left({\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right)$

задає лінійне відображення (оператор) з простору$\mathbb {R} ^{n}$ в простір $\mathbb {R} ^{m}$.

Рядки матриці A є елементами векторного простору $\mathbb {R} ^{n}$, а стовпці — елементами $\mathbb {R} ^{m}$.

Властивості

• Лінійна оболонка рядків матриці $A$ є лінійним підпростором простору $\mathbb {R} ^{n}$.
• Лінійна оболонка стовпців матриці $A$ є лінійним підпростором простору $\mathbb {R} ^{m}$.

Теорема про ранг матриці

Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцях збігається з рангом по рядках.

Основна теорема лінійної алгебри

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва	Визначення	Простір в якому існує	Розмірність
простір стовпців чи образ	im(A) чи range(A)	$\mathbb {R} ^{m}$	r
нульпростір чи ядро	ker(A) чи null(A)	$\mathbb {R} ^{n}$	n — r
простір рядків чи кообраз	im(AT) чи range(AT)	$\mathbb {R} ^{n}$	r
лівий нульпростір чи коядро	ker(AT) чи null(AT)	$\mathbb {R} ^{m}$	m — r

• В $\mathbb {R} ^{n}\;\;\ker {(A)}=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }$, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
• В $\mathbb {R} ^{m}\;\;\ker {(A^{T})}=(\mathrm {im} (A))^{\perp }$, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)