Відкрити головне меню

Плюс мінус 15 см

Приклад пропорції

Пропо́рція (від лат. proportio — рівняю) — в математиці рівність двох відношень.
Записується як:


або як:


І читається: «a відноситься до b так само, як c відноситься до d».
У пропорції всі члени натуральні. Члени a та d називають крайніми членами пропорції, а b та cсередніми.

Властивості пропорціїРедагувати

Основна властивістьРедагувати

У пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.
Якщо  , то  
Наприклад,

 
 

Властивість оберненняРедагувати

У пропорції, якщо переставити місцем перший крайній член із першим середнім членом, а другий середній — із другим крайнім, то знову вийде пропорція.
Якщо  , то  
Наприклад,  

 

Перевіримо основною властивостю:

 

Властивість переставлянняРедагувати

У пропорції, якщо поміняти місцями крайні або середні члени, або і ті і ті, знову вийде пропорція.
Якщо  , то  ,  , : 
Наприклад,  

 
 
 

Перевірімо:

 

Властивості додавання і відніманняРедагувати

Властивість додаванняРедагувати

У пропорції сума першого і другого членів відноситься до першого або другого члена так само, як сума третього і четвертого членів відноситься до третього або четвертого члена.
Якщо  , то  ,  
Наприклад:

 
 
 

Перевірімо:

 
 

Властивість відніманняРедагувати

У пропорції, якщо перший член більший за другий (і тому третій член більший за четвертий) різниця першого і другого членів відноситься до першого або другого члена так само, як різниця третього і четвертого членів відноситься до третього або четвертого члена.
Якщо   (де   і  ), то  , : 
Наприклад:

 
 
 

Перевірмо:

 
 

Як знаходити крайній членРедагувати

Як знаходити невідомий крайнійРедагувати

Щоб знайти невідомий крайній, достатньо поділити добуток середніх членів на відомий крайній.
Якщо  , то  
Наприклад:

 
 

Як знаходити невідомий середнійРедагувати

Щоб знайти невідомий середній, достатньо добуток крайніх членів поділити на відомий середній.
Якщо  , то  
Наприклад:

 
 

Як знаходити невідомий середній, якщо середні члени однаковіРедагувати

Щоб знайти невідомий середній, якщо середні члени однакові, достатньо знайти квадратний корінь добутку крайніх членів.
Якщо  
, то  
Наприклад:

 
 

Як знаходити невідомі середній і крайнійРедагувати

Як знаходити невідомі середній і крайній, знаючи суму відомих середнього і крайньогоРедагувати

Достатньо додати відомі члени, потім знайти такі числа, до якого сума невідомих членів відноситься так само, як сума відомих членів до кожного з них:
Якщо  , то:

  •  
  •  

Наприклад:

 , де  
 
 
 

Як знаходити невідомі середній і крайній, знаючи різницю відомих середнього і крайньогоРедагувати

Достатньо відняти відомі члени, потім знайти такі числа, до якого різниці невідомих членів відноситься так само, як різниця відомих членів до кожного з них:
Якщо  , то:

  •  
  •  

Наприклад:

 , де  
 
 
 

Пропорційні величиниРедагувати

Прямо пропорційні величиниРедагувати

Уявімо, що ми купили 1 кг яблук і заплатили 8 грн. Якщо ми купимо 2 кг, то заплатимо 16 грн., якщо 3 — то 24 грн. і т. д.
Маса наших яблук завжди так само відноситься до кошту. Якщо поїзд рухається зі швидкостю 30 км/год, то за 2 години він проїде 60 км, за 3 — 90 км і т. д.
Маса яблук і кошт, або час, за який рухається поїзд, називають прямо пропорційнми величинами. Взагалі, дві величини прямо пропорційні, коли, якщо збільшити або зменшити в певну кількість раз першу, то друга збільшується або зменшується в стільки раз, тобто ці величини можна записати як

 

де kкоефіцієнт пропорційності.

Обернено пропорційні величиниРедагувати

Очевидно, що чим більше людей думають про те, щоб прибрати в будинку, тим менше часу треба буде. Якщо самому треба 10 год, то вдвох — 5 год, в трьох — 31/3 год і т. д. Кількість людей, які прибирають, і час, — обернено пропорційні величини. Дві величини обернено пропорційні, якщо, коли помножити на якесь число першу, то друга помножиться на обернений дріб.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

ПосиланняРедагувати