Пропорційність (математика)

Пропорці́йними називаються дві взаємно залежні величини, якщо відношення їх значень залишається незмінним. Рівність між відношеннями двох чи декількох пар чисел або величин в математиці називається пропорцією.

Пряма пропорційність

ред.
 
Змінна y є прямо пропорційною до змінної x.

Пряма́ пропорці́йність — стале відношення двох змінних величин. При збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів у стільки ж разів збільшується (зменшується) друга величина. Такі величини називаються прямо пропорційними.

Нехай дано дві змінні x та y, y є прямопропорційною до x[1], якщо існує відмінна від нуля константа k, така, що

 

Співвідношення часто позначають використовуючи символи ∝ чи ~, наприклад

 

і стале відношення

 

називається коефіцієнтом пропорційності.

Приклади

ред.
  1. У випадку руху з постійною швидкістю пройдена відстань прямо пропорційна витраченому часу.
  2. Якщо купують однаковий товар за фіксованою ціною, вартість товару прямо пропорційна його кількості.
  3. Периметр квадрата з довжиною сторони а є прямо пропорційним довжині сторони.

Графік

ред.

Якщо y є прямо пропорційна до x, тоді графік y як функції від x є прямою лінією, що проходить через початок координат з нахилом, залежним від коефіцієнта пропорційності: вона відповідає лінійному росту.

Обернена пропорційність

ред.
 
Обернена пропорційна функція y = 1/x.

Обе́рнена пропорці́йність — це функціональна залежність, при якій збільшення незалежної величини (аргумента) призводить до пропорційного зменшення залежної величини (функції).

Дві змінні є обернено пропорційні, якщо кожна з них є прямо пропорційна до оберненої їй змінної. Нехай дано дві змінні x та y, y є обернено пропорційною до x[2], якщо існує відмінна від нуля константа k, така, що

 

Приклади

ред.
  1. Час подорожі є обернено пропорційним до швидкості, з якою відбувається подорож.
  2. Час потрібний для виконання роботи є (приблизно) обернено пропорційним до кількості людей, що виконують роботу.

Графік

ред.

Графіком функції  ,   в декартовій системі координат є рівностороння гіпербола з дійсною піввіссю   (відстань від вершини до центру), з центром в початку координат та асимптотами — осями координат.

Експоненційна та логарифмічна пропорційності

ред.

Змінна y є експоненційно пропорційною до змінної x, якщо y є прямопропорційною до експоненційної функції від x, причому існують відмінні від нуля константи k та a, такі, що

 

Змінна y є логарифмічно пропорційною до змінної x, якщо y є прямопропорційною до логарифма від x, причому існують відмінні від нуля константи k та a, такі, що

 

Див. також

ред.

Зростання

ред.

Примітки

ред.
  1. Weisstein, Eric W. «Directly Proportional.» MathWorld — A Wolfram Web Resource
  2. Weisstein, Eric W. «Inversely Proportional.» MathWorld — A Wolfram Web Resource

Джерела

ред.
  • Ya.B. Zeldovich, I.M. Yaglom: Higher math for Beginners. pp. 34-35
  • Brian Burell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213, pp. 85-101
  • Lanius, Cynthia S.; Williams Susan E.: PROPORTIONALITY: A Unifying Theme for the Middle Grades. Mathematics Teaching in the Middle School 8.8 (2003), pp. 392-96 (JSTOR)
  • Seeley, Cathy; Schielack Jane F.: A Look at the Development of Ratios, Rates, and Proportionality. Mathematics Teaching in the Middle School, 13.3, 2007, pp. 140-42 (JSTOR)
  • «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ» / Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 544 с.