Передбаза топології

У топології передбазою (або підбазою ) для топологічного простору $X$ із топологією $T$ називається підмножина $B$ топології $T$ , яка породжує $T$ , тобто $T$ є найменшою топологією, що містить $B$ .

Означення

Нехай $X$ — топологічний простір із топологією $T$ . Передбазою $T$ називається підмножина $B$ топології $T$ , яка задовольняє еквівалентним умовам:

Підмножина $B$ породжує топологію $T$ . Тобто $T$ є найменшою топологією, що містить $B$ : будь-яка топологія $T'$ на $X$ , що містить $B$ також містить $T$ .
Набір відкритих множин, що складається із усіх скінченних перетинів елементів $B$ , разом із множиною $X$ є базою для $T$ . Іншими словами кожна власна відкрита множина у $T$ є об'єднанням скінченних перетинів елементів $B$ . Тобто для будь-якої точки $x$ у відкритій множині $U \subseteq X$ є скінченна кількість множин $S 1, ..., S n$ із $B$ перетин яких містить точку $x$ і є підмножиною $U$ .

Для будь-якої підмножин $S$ булеана $P(X)$ існує єдина топологія для якої $S$ є передбазою. Ця топологія є перетином усіх топологій на $X$ , що містять $S$ . Натомість для заданої топології може бути багато різних передбаз.

Іноді в означенні передбази вимагається щоб $B$ було покриттям $X$ .^[1]

При цьому означенні дві властивості вище не завжди є еквівалентними. Існують простори $X$ із топологією $T$ , для яких існують підмножини $B$ топології $T$ і $T$ є найменшою топологією, що містить $B$ але $B$ не є покриттям $X$ . Проте такі простори є досить екзотичними; наприклад передбаза простору, що має принаймні дві точки і задовольняє аксіому T₁ є покриттям цього простору.

Приклади

Для звичайної топології дійсних $R$ усі напівнескінченні відкриті інтервали виду $(-\infty, a)$ або $(b,\infty)$ , де $a$ і $b$ є дійсними числами є передбазою. Вони породжують стандартну топологію оскільки перетини $(a, b) = (-\infty, b) \cap (a,\infty)$ для $a < b$ утворюють базу топології. Іншу передбазу можна отримати якщо взяти підмножину напівнескінченних інтервалів для яких $a$ і $b$ є раціональними числами. У цьому випадку відкриті інтервали $(a, b)$ де $a$ , $b$ є раціональними також утворюють базу для стандартної топології.

Передбаза із напівнескінченних відкритих інтервалів виду $(-\infty, a)$ , де $a$ є дійсним числом не породжує стандартну топології. Породжена також передбазою топологія не задовольняє аксіому T₁, оскільки всі відкриті множини мають непустий перетин.

Якщо $X$ є нескінченною множиною, то множина скінченних підмножин, із кількістю елементів $n\neq 0$ , тобто

{\mathcal {S}}:=\{M\subset X\,|\,|M|=n\}

є передбазою дискретної топології, тобто топології

{\mathcal {O}}_{D}:={\mathcal {P}}(X).

Ініціальна топологія на $X$ задана сім'єю функцій $f i : X \to Y i$ , де всі $Y i$ є топологічними просторами є найслабшою топологією на $X$ для якої всі $f i$ є неперервними. Оскільки неперервність означається за допомогою прообразів відкритих множин то ініціальна топологія на $X$ породжується передбазою елементами якої є $f i -1 (U)$ , для всіх $U$ , що є відкритими підмножинами для всіх $Y i$ .

Важливими окремими випадками попереднього прикладу є добуток топологічних просторів, де сім'єю функцій є множина проєкцій із добутку на кожен множник і топологічний підпростір, де сім'я складаються з єдиної функції включення.

Для компактно-відкритої топології на просторі неперервних функцій із $X$ у $Y$ передбазою є, наприклад, множина елементами якої є множини функцій

V(K,U)=\{f\colon X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}

для різних компактних підмножин $K \subseteq X$ і відкритих підмножин $U \subseteq Y$ .

Властивості

За допомогою передбаз можна дати означення неперервності: відображення f : X → Y між топологічними просторами є неперервним тоді і тільки тоді, коли для кожної множини U із передбази A топологічного простору Y, прообраз відображення f⁻¹(U) є відкритою множиною.
Теорема Александера. Нехай $X$ є топологічним простором із передбазою $B$ . Якщо кожне покриття елементами $B$ має скінченне підпокриття, то простір є компактним.

Примітки

↑ Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods у Chemistry. John Wiley & Sons. с. 17. ISBN 0-471-83817-9. Процитовано 13 червня 2013.

Див. також

Література

Willard, Stephen (2004), General topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43479-7, MR 2048350

[1] Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods у Chemistry. John Wiley & Sons. с. 17. ISBN 0-471-83817-9. Процитовано 13 червня 2013.

[1]