Правильний октаедр

Правильний октаедр — один з п'яти правильних многогранників. Октаедр має 8 граней (трикутних), 12 ребер, 6 вершин (у кожній вершині сходяться 4 ребра).

Октаедр, натисніть тут для обертання моделі

Тривимірна модель правильного октаедра

Формули

Площа S і об'єм V октаедра з довжиною ребра а обчислюється за формулами:

$S=2{\sqrt {3}}a^{2}$

$V={\begin{matrix}{1 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {2}}a^{3}$

Декартові координати

Якщо центр октаедра з довжиною ребра ${\sqrt {2}}$ помістити у центр координат, а його вершини розташувати на осях координат, тоді координати його шести вершин будуть: (±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).

Властивості октаедра

• Октаедр можна вписати в тетраедр, притому чотири (з восьми) граней октаедра будуть суміщено з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести ребер тетраедра.
• Октаедр з ребром у складається з 6 октаедрів (по вершинам) з ребром у:2 і 8 тетраедрів (по гранях) з ребром у:2
• Октаедр можна вписати в куб, притому всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести граней куба.
• У октаедр можна вписати куб, притому всі вісім вершин куба будуть розташовано в центрах восьми гранях октаедра.

Октаедр в фізичному світі

У формі октаедра кристалізуються мідь, срібло, алмаз, магнетит, флюорит тощо.

В українському народному декоративному мистецтві фігура з 12 соломинок, які правлять за ребра октаедра, називається "різдвяним павуком" і служить прикрасою та оберегом для оселі протягом зимових свят.

Див. також

• Октаедр (кристалографія)

Посилання

• Octahedron — Mathworld.com
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• Paper Models of Polyhedra Many links