Відкрити головне меню

Поліноми Лаґерраортогональні поліноми, названі на честь французького математика Едмона Лаґерра.


Зміст

ВизначенняРедагувати

Поліномами Лаґерра називаються канонічні розв'язки диференційного рівняння

 

що є лінійним диференційним рівнянням другого порядку і має несингулярний розв'язок лише для невід'ємних цілих n. Для даних поліномів справедлива також явна формула Родрігеса:

 

Поліноми Лаґерра можна задати рекурсивно. Для цього слід взяти:

 
 

і визначити наступні поліноми за допомогою формули:

 

ПрикладиРедагувати

Прикладами поліномів Лаґерра найменших степенів є:

n  
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  
 
Графіки поліномів Лаґерра.

Узагальнені поліноми ЛаґерраРедагувати

Узагальненими поліномами Лаґерра називаються поліноми визначені за допомогою узагальненої формули Родрігеса:

 

Тоді звичайні поліноми Лаґерра є частковим випадком:

 

Узагальнений поліном Леґерра степеня   також можна визначити за допомогою формули  

Також виконуються рекурентні співвідношення:

 

Зокрема

  і  , або  

ПрикладиРедагувати

Прикладами узагальнених поліномів Лаґерра найменших степенів є:

 
 
 
 


ОртогональністьРедагувати

Узагальнені поліноми Лаґерра є ортогональними на проміжку [0, ∞) з нормою xα e −x:

 

Для звичайний поліномів Лаґерра виконується рівність:

 


ЛітератураРедагувати

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
  • Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
  • George Arfken and Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6. 
  • S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.