Поле розкладу

В абстрактній алгебрі поле розкладу многочлена p над полем $K$ — найменше розширення поля, над яким $p$ розкладається в добуток лінійних множників:

$p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),\ x_{1},\dots ,x_{n}\in L,\quad L\supset K.$

При цьому $L=K(x_{1},\dots ,x_{n}),$ тому поле розкладу $L$ також називається розширенням, одержаним приєднанням до $K$ всіх коренів даного многочлена.

Аналогічно вводиться поняття поля розкладу сім'ї многочленів $p_{i}(x),i\in I$ — розширення L, для якого кожен p_i розкладається в L[x] на лінійні множники і L породжується над K всіма коренями p_i. Поле розкладу скінченної множини многочленів p₁,p₂...p_n, буде, очевидно, полем розкладу їх добутку p=p₁p₂...p_n Розширення поля, що є полем розкладу деякої сім'ї многочленів називається нормальним розширенням.

Властивості

• Поле розкладу скінченної сім'ї многочленів є скінченним алгебраїчним розширенням поля $K$.
• Поле розкладу многочлена існує для будь-якого сімейства многочлена p_i і визначене однозначно з точністю до ізоморфізму, тотожного на K.
• Для поля $K$ характеристики 0, поле розкладу многочлена $(x^{m}-a),\quad a\in K$ завжди містить первісний корінь степені $m$ з одиниці.
• Мінімальний многочлен довільного елемента поля розкладу в цьому полі теж розкладається на лінійні множники.

Приклади

• Якщо степінь многочлена $p$ не перевершує $1$, то $L=K$.
• Поле комплексних чисел $\mathbb {C}$ — поле розкладу многочлена $x^{2}+1$ над полем $\mathbb {R}$ дійсних чисел.
• Будь-яке скінченне поле $GF(q)$, де $q=p^{n}$, є полем розкладу многочлена $x^{q}-x$ над простим підполем $GF(p)\subset GF(q)$.
• Полем розкладу x² + 1 над GF₇ є GF₄₉.

Побудова поля розкладу

Нехай $K$ — поле і p(x) многочлен над $K$ степеня n. Загалом процедура побудови поля розкладу многочлена p(x) полягає в побудові послідовності полів $K=K_{0},K_{1},\dots K_{r-1},K_{r}=L$, де $K_{i}$ є розширенням $K_{i-1}$, що містить один новий корінь p(x). Оскільки p(x) має щонайбільше n різних коренів, побудова вимагає щонайбільше n розширень. Розширення $K_{i}$ можна побудувати за допомогою наступних кроків:

• Многочлен p(x) розкладається в добуток многочленів незвідних над $K_{i}$ $p(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{k}(x)$.
• Нехай $f(x)=f_{i}(x)$ — деякий з незвідних множників з попереднього пункту.
• Розширення $K_{i+1}$ поля $K_{i}$ визначається як фактор-кільце $K_{i+1}=K_{i}[x]/(f(x))$ де (f(x)) — ідеал в кільці $K_{i}[x]$ породжений f(x).
• Процедура побудови $K_{i+1}$ продовжується доки не одержується поле в якому p(x) розкладається на лінійні множники.

Незвідні многочлени $f_{i}$ можуть обиратися в довільному порядку. Одержані поля розкладу при цьому будуть ізоморфними.

Оскільки f(x) є незвідним (f(x)) є максимальним ідеалом і тому $K_{i}[x]/(f(x))$ — поле. Якщо $\pi :K_{i}[x]\to K_{i}[x]/(f_{1}(x))$ є проєкцією кільця на фактор кільце, то $f(\pi (x))=\pi (f(x))=f(x){\bmod {f}}(x)=0$ отже $\pi (x)$ є коренем f(x) і також p(x).

Розмірність розширення [$K_{i+1}:K_{i}$] рівна степеню відповідного многочлена f(x). Розмірність розширення [L : K] рівна $[K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]$ і не перевищує n!.

Література

• Е.Артін, Теорія Галуа. — К.: Радянська школа, 1963.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)