Поверхня Макбіта

Поверхня Макбіта, крива Макбіта або крива Фрікке — Макбіта — поверхня Гурвіца роду 7.

Властивості

• Групою автоморфізмів поверхні Макбіта є проста група PSL(2,8), що складається з 504 симетрій.

Побудова групи трикутника

Фуксову групу поверхні можна побудувати як головну конгруенц-підгрупу групи трикутника (2,3,7) у потрібній вежі головних конгруенц-підгруп. Вибір алгебри кватерніонів та порядок кватерніонів Гурвіца описано на сторінці Група трикутника. Якщо вибрати ідеал $\langle 2\rangle$ у кільці цілих чисел, відповідна головна конгруенц-підгрупа визначає цю поверхню роду 7. Її систола приблизно дорівнює 5,796, а число систолічних петель, згідно з обчисленнями Р. Фогелера, дорівнює 126.

Історія

Першим цю поверхню відкрив Роберт Фрікке, але названо її ім'ям Александера Мюррея Макбіта, після того, як він пізніше незалежно відкрив ту ж криву. Елкіс пише, що на еквівалентність кривих, які вивчали Фрікке і Макбіт, «можливо, першим звернув увагу Серр у листі Аб'янкару від 24 липня 1990 року».

Див. також

• Квартика Кляйна
• Перша трійка Гурвіца

Література

• Kevin Berry, Marvin Tretkoff. Curves, Jacobians, and abelian varieties, Amherst, MA, 1990. — Providence, RI : Contemp. Math., 136, Amer. Math. Soc, 1992. — С. 31–40..
• Emilio Bujalance, Antonio F. Costa. Mathematical contributions. — Madrid : Editorial Complutense, 1994. — С. 375–385.
• N. D. Elkies. Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III / Joe P. Buhler. — Springer-Verlag, 1998. — Т. 1423. — (Lecture Notes in Computer Science) — ISBN 3-540-64657-4. — DOI:10.1007/BFb0054849..
• R. Fricke. Über eine einfache Gruppe von 504 Operationen // Mathematische Annalen. — 1899. — Т. 52, вип. 2–3. — DOI:10.1007/BF01476163..
• R. Gofmann. Weierstrass points on Macbeath's curve // Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh.. — 1989. — Т. 104, вип. 5. — С. 31–33.. Translation in Moscow Univ. Math. Bull. 44 (1989), no. 5, 37-40.
• A. Macbeath. On a curve of genus 7 // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1965. — Т. 15. — DOI:10.1112/plms/s3-15.1.527..
• R. Vogeler. On the geometry of Hurwitz surfaces // Florida State University thesis. — 2003..
• K. Wohlfahrt. Macbeath's curve and the modular group // Glasgow Math. J.. — 1985. — Т. 27. — DOI:10.1017/S0017089500006212.. Corrigendum, vol. 28, no. 2, 1986, p. 241, MR0848433.