Перша теорема Веєрштрасса

Перша теорема Веєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на відрізку (замкненому проміжку).

У деяких підручниках цю теорему об'єднують із другою теоремою Веєрштрасса в одну «теорему Веєрштрасса»[1].

Формулювання теоремиРедагувати

Якщо функція   неперервна на відрізку  , то вона обмежена на цьому проміжку[2].

ДоведенняРедагувати

Доведемо, що функція   обмежена зверху на проміжку   (обмеженість знизу доводиться аналогічно)[2].

Припустимо протилежне, тобто, що   не є обмеженою на проміжку  .

Тоді для будь-якого натурального числа     знайдеться хоча б одна точка   з проміжку   така, що   (інакше   була б обмежена зверху на проміжку  ).

Таким чином, існує послідовність значень   з проміжку   така, що відповідна їй послідовність значень функції   є нескінченно великою. Внаслідок теореми Больцано — Веєрштрасса, з послідовності   можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки  , що належить  . Позначимо цю послідовність символом  ,    . Внаслідок неперервності функції   у точці   відповідна підпослідовність значень функції   має збігатися до  . Але це неможливо, оскільки підпослідовність  , яку виділено з послідовності  , сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

ЗауваженняРедагувати

Для інтервалу (чи півпроміжку) твердження, аналогічне першій теоремі Веєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.

Наприклад, розглянемо функцію   на інтервалі  . Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок    , які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції   є нескінченно великою.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  1. І. В. АБРАМЧУК, Н. В. САЧАНЮК-КАВЕЦЬКА, Л. І. ПЕДОРЧЕНКО. Тема 2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ // ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ.
  2. а б Вища математика — 2 : Навчальний посібник для студентів технічних напрямків підготовки / Укладач: В. В. Бакун. — К. : НТУУ «КПІ», 2013. — С. 109—110. — 270 с.

ЛітератураРедагувати