Перетин прямої і площини

може бути порожньою множиною, точкою, або прямою.
Три можливих випадки перетину прямої і площини:
1. Нема перетину.
2. Перетин в точці.
3. Перетин є прямою.

В аналітичній геометрії, перетин прямої і площини може бути порожньою множиною, точкою, або прямою. Розрізнення цих випадків, і визначення рівнянь для точки і прямої має своє застосування комп'ютерній графіці, плануванні руху, і виявленні зіткнень.

Алгебраїчна формаРедагувати

У векторному представленні[en], площину можна задати у вигляді набору точок   для яких

 

де   — вектор нормалі, що перпендикулярний площині і   є точкою на площині. (Це представлення   означає скалярний добуток двох векторів   і  .)

Векторне рівняння прямої є наступним:

 

де   це вектор, який вказує напрям прямої,   точка на цій прямій, і   це скаляр в дійсній області чисел. Підставляючи рівняння прямої в рівняння площини, отримуємо

 

Розкривши дужки, маємо:

 

І вирішуючи для  

 

Якщо   пряма і площина є паралельними. Матимемо два випадки: якщо   пряма знаходиться на площині, що означає, що пряма перетинає площину в кожній точці прямої. В іншому випадку, пряма і площина не мають перетину.

Якщо   існує єдина точка перетину. Значення   можна розрахувати і точку перетину можна визначити наступним чином:

 .

Параметрична формаРедагувати

 
Перетин прямої і площини.

Пряма описується всіма точками на прямій і напрямом від конкретної точки. Таким чином будь-яка довільна точка на прямій може бути задана наступним чином

 

де   and   є вдома різними точками на прямій.

Таким же чином будь-яка довільна точка на площині може бути представлена як:

 

де  ,   це три точки на площині, які не є колінеарними.

Точка, в якій пряма перетинає площину, таким чином описується рівнянням в якому точка на прямій дорівнює точці на площині, і задається наступним параметричним рівнянням:

 

Це можна записати як

 

що можна представити в матричній формі, як:

 

Точка перетину буде дорівнювати наступному:

 

Якщо лінія паралельна площині тоді вектори  ,  , і   будуть лінійно залежними і матриця буде виродженою. Ця ситуація також виникає, коли пряма знаходиться на площині.

Якщо рішення задовольняє умову  , тоді точка перетину знаходиться на прямій між   і  .

Якщо рішення задовольняє

 

тоді точка перетину знаходиться на площині в межах трикутника, що заданий трьома точками  ,   і  .

Ця задача зазвичай вирішується у матричній формі, і за допомогою інверсії отриманої матриці:

 

ПосиланняРедагувати