Відкрити головне меню
Точка перетину двох прямих

В геометрії, перетин - це точка, пряма або крива, яка належить двом або більше об'єктам (таким як прямі, криві, площини і поверхні). Найпростіший випадок в евклідовій геометрії — це перетин двох різних прямих, який може бути однією точкою, не існувати, якщо прямі паралельні, або прямою, якщо прямі збігаються.

Визначення перетину лінійних геометричних об'єктів, впроваджених в багатомірному просторі — це прості задачі лінійної алгебри, а саме вирішення системи лінійних рівнянь. В цілому визначення перетину призводить до нелінійних рівнянь, які можуть бути вирішені чисельно, наприклад за допомогою метода Ньютона. Проблеми перетину між лінією і конічним перетином (колом, еліпсом, параболою і т. д.) або квадрікою (кулею, циліндром, гіперболоїдом і т. д.) призводять до квадратних рівнянь, які можуть бути легко вирішені. Перетин квадрік призводить до рівнянь четвертого степеня, які можуть бути вирішені алгебраїчно.

На площиніРедагувати

Дві пряміРедагувати

Для визначення точки перетину двох непаралельних прямих

  •  

За методом Крамера або за допомогою підстановки змінної, отримуємо координати точки перетину  :

 

(Якщо прямі паралельні, то   і ці формули не можуть бути використані, тому що вони включають ділення на 0.)

Два відрізкиРедагувати

 
Перетин двох відрізків

Два непаралельні відрізки   і   не обов'язково перетинаються (див. схему), тому що точка перетину   відповідних прямих не обов'язково потрапляє саме на відрізки, а не на їх продовження. Для того, щоб перевірити цю ситуацію використовують параметричне представлення прямих:

 
 

Відрізки перетинаються тільки в одній точці   , якщо відповідні параметри   відповідають умові  . Параметри   є розв'язком лінійної системи

 
 

Вона може бути вирішена для s і t, використовуючи метод Крамера. Якщо умова   виконана, то підставляючи   або   у відповідне параметричне рівняння можна отримати точку перетину  .

Наприклад: для відрізків   і   отримуємо лінійну систему

 
 

З якої випливає  . Що означає: лінії перетинаються в точці  .

Зауваження: розглядаючи прямі, замість відрізків, визначені парами точок, кожна умова   може бути видалена, і тоді метод дає точку перетину цих прямих (див. вище).

 
Перетин прямої та кола

Пряма та колоРедагувати

Для перетину

  • прямої   та кола  

потрібно розв'язати рівняння прямої відносно   або  , підставити його в рівняння кола і розв'язати його (використовуючи формулу квадратного рівняння). Отримаємо   з

 
 

для   Якщо ця умова виконується зі строгою нерівністю, отримаємо дві точки перетину; в цьому випадку пряма називається січною кола, а відрізок, що з'єднує точки перетину називається хордою.

Якщо  , існує тільки одна точка перетину і пряма є дотичною до кола. Якщо нерівність не виконується, то пряма не перетинається з колом.

Ми припускали, що центр кола збігається з початком координат. Якщо це не так, то потрібно виконати паралельний зсув. Більш детально дивитись тут.[1]

Перетин прямої і параболи або гіперболи можна розглядати аналогічно.

Два колаРедагувати

 
Перетин двох кіл
 
Перетин кола та еліпса

Визначення точок перетину двох кіл

  •  

можна звести до попереднього випадку перетину лінії і кола шляхом віднімання двох заданих рівнянь виходить рівняння:

 

Перетин двох кругів утворює форму, звану лінзою.

Два конічних перерізаРедагувати

Проблема перетину еліпса/гіперболи/параболи з іншим конічним перерізом приводить до системи квадратичних рівнянь, яка може бути легко вирішена в особливих випадках за допомогою позбавлення від однієї координати. Особливі властивості конічних перерізів можуть бути використані для отримання рішення. У загальному випадку, точки перетину можуть бути визначені шляхом рішення рівняння методом Ньютона. Якщо а) обидва перерізи заданої неявно (за допомогою рівняння) в 2-мірному методі Ньютона б) одну неявно, а інші параметрично заданої в 1-мірному просторі, то метод Ньютона є необхідним. Дивіться наступний розділ.

Дві гладкі кривіРедагувати

 
Трансверсальний перетин двох кривих
 
Дотичний перетин (ліворуч), дотикаються (праворуч)

Дві криві в   (двовимірний простір), які є безперервно дифференційованими (тобто не мають різкого вигину), мають точки перетину, якщо вони мають спільну точку площини і у цій точці:

a: мають різні дотичній прямі (трансверсальний перетин), або
б: дотичні лінії збігаються, і вони перетинаються один з одним (дотичний перетин, див. схему).

Якщо обидві криві мають спільну точку S та спільну дотичну в ній, але не перетинаються один з одним, вони просто дотикаються у точці S.

Тому що дотичні перетини з'являються рідко і з ними складно працювати наступні міркування не враховують цей випадок. Надалі будемо вважати, що виконуються усі потрібні диференціальні умови. Визначення точок перетину завжди призводить до одного або двох нелінійних рівнянь, які можуть бути вирішені за допомогою метода Ньютона. Можливі такі випадки:

 
перетин параметричної кривої і неявної кривої
 
перетин двох неявних кривих
  • Якщо обидві криві явно задано:  , прирівнюючи їх отримаємо рівняння
 
  • Якщо обидві криві параметрично задані:  
Прирівнюючи їх отримуємо два рівняння з двома змінними:
 
  • Якщо одна крива задана параметрично, а друга - неявно:  
Потрібно вставити параметричне представлення   рівняння   кривої   виходить рівняння:
 
  • Якщо обидві криві неявно задано:  
Тут, точки перетину - це рішення системи
 

Будь-який метод Ньютона потребує відповідних стартових значень, які можуть бути отримані шляхом візуалізації обох кривих. Параметрично або неявно задані криві можна легко візуалізовати, адже для будь-якого параметра t або x, неважко розрахувати відповідні точки. Для неявно заданих кривих це не так просто зробити. У цьому випадку потрібно визначити точку кривої за допомогою початкових значень та ітерації. Див.[2]

Приклади:

1:   та коло   (див. малюнок).
Потрібно виконати метод Ньютона   для функції
 . Як стартові значення можна використати −1 та 1.5.
Отримаємо точки перетину: (−1.1073, −1.3578), (1.6011, 4.1046)
2: 
  (див. малюнок).
 , де   є розв'язком лінійної системи
  у точці  . Як стартові значення можна використати (−0.5, 1) та (1, −0.5).
Лінійну систему можна вирішити використовуючи правило Крамера.
Точки перетину: (−0.3686, 0.9953) та (0.9953, −0.3686).

Два багатокутникиРедагувати

 
перетин двох полігонів: метод вікон

Якщо потрібно визначити точки перетину двох багатокутників, можна перевірити перетин будь-якої пари відрізків цих багатокутників (див. вище). Для багатокутників з багатьох відрізків цей метод є досить повільним. На практиці цей алгоритм можна прискорити за допомогою метода вікон. У цьому методі ми ділимо багатокутники на дрібні під-багатокутники і визначаємо мінімальне вікно (прямокутник зі сторонами, паралельними до осей координат) для усіх під-багатокутників. Перед початком дорогих за часом витрат визначення точки перетину двох відрізків, усі пари вікон перевіряються на наявність загальних точок. Див.[3]

У просторі (три виміри)Редагувати

У 3-вимірному просторі існують точки перетину (точки дотику) між кривих і поверхонь. У наступних розділах ми розглянемо тільки трансверсальний перетин.

Пряма та площинаРедагувати

 
Перетин прямої і площини

Перетин прямої та площини у загальному положенні в трьохвимірному просторі — це точка.

Зазвичай пряма в просторі задана параметрично  , а площина задана рівнянням  . Для пошуку точки перетину підставимо координати точки у рівняння:

 

для параметра   координати точки перетину будуть  .

Якщо лінійне рівняння не має рішення, то пряма або лежить на площині або паралельна їй.

Три площиниРедагувати

Якщо пряма задана двома площинами, що перетинаються   і її потрібно перетнути із третьою площиною  , знайдемо точку перетину усіх трьох площин.

Три площини   з лінійно незалежними векторами нормалей   мають точку перетину

 

Для доказу слід встановити, що   використовуючи правила мішаного добутку. Якщо мішаний добуток дорівнює 0, то площини або не мають потрійного перетину, або це лінія (або площина, якщо всі три площини співпадають).

Крива та поверхняРедагувати

 
перетин кривої   з поверхнею  

Аналогічно до випадку із площинами наступні випадки призводять до нелінійних систем, які можуть бути вирішені з використанням 1 - або 3-мірного метода Ньютона.[4]

  • параметрична крива   і
параметричні поверхня  
  • параметрична крива   і
неявна поверхня  

Приклад:

параметрична крива   і
неявна поверхні   (див. малюнок).
Точки перетину: (-0.8587, 0.7374, -0.6332), (0.8587, 0.7374, 0.6332).

Перетин прямої і сфери - це окремий простий випадок.

Як і у випадку лінії і площини, перетин кривої і поверхні в загальному положенні складається з дискретних точок, але крива може бути частково або повністю перебувати на поверхні.

Прямої і багатогранникаРедагувати

Дві поверхніРедагувати

 
Перетин двох площин.

Два поверхні при трансверсальному перетині задають криву перетину[en]. Найпростіший випадок лінії перетину — це перетин двох непаралельних площин.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

  1. Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 17
  2. Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 33
  3. Erich Hartmann: CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Lecture notes, TU Darmstadt, 1997, p. 79 (PDF; 3,4 MB)
  4. Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 93