Перетворення Хаусхолдера

Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення $\ H_{u}$ векторного простору $\ V$, що описує його віддзеркалення (симетрію) щодо гіперплощини, яка проходить через початок координат.

Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.

Застосовується в лінійній алгебрі для QR-розкладу матриці.

Визначення

Якщо гіперплощина описується одиничним вектором $\ u$, що є ортогональним до неї; та $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — скалярний добуток в $\ V$, тоді

$\ H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u$ — оператор Хаусхолдера.

Матриця Хаусхолдера має вигляд:

$\ H=I-2uu^{*}.$

Властивості

• Матриця Хаусхолдера є ермітовою: $\ H=H^{*}.$
• Матриця Хаусхолдера є унітарною: $\ H^{*}H=I.$
• Отже вона є інволюцією: $\ H^{2}=I.$.
• Перетворення $\ H_{u}(x)$ відображає точку $\ x$ в точку $\ x-2\langle u,x\rangle u.$
• Матриця Хаусхолдера має одне власне значення рівне -1, що відповідає власному вектору $\ u$, усі інші власні значення дорівнюють (+1).
• Визначник матриці Хаусхолдера дорівнює -1.
• Перетворення Хаусхолдера в метричному просторі зберігає відстані^{[джерело?]}.

Див. також

• Матриця повороту
• Ортогональна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Ланкастер П. Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947