Перетворення Хаусхолдера

Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення векторного простору , що описує його віддзеркалення (симетрію) щодо гіперплощини, яка проходить через початок координат.

Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.

Застосовується в лінійній алгебрі для QR-розкладу матриці.

ВизначенняРедагувати

Якщо гіперплощина описується одиничним вектором  , що є ортогональним до неї; та  скалярний добуток в  , тоді

  — оператор Хаусхолдера.

Матриця Хаусхолдера має вигляд:

 

ВластивостіРедагувати

  • Матриця Хаусхолдера є ермітовою:  
  • Матриця Хаусхолдера є унітарною:  
  • Отже вона є інволюцією:  .
  • Перетворення   відображає точку   в точку  
  • Матриця Хаусхолдера має одне власне значення рівне -1, що відповідає власному вектору  , усі інші власні значення дорівнюють (+1).
  • Визначник матриці Хаусхолдера дорівнює -1.
  • Перетворення Хаусхолдера в метричному просторі зберігає відстані[джерело?].

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947

ЛітератураРедагувати

  • Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. Перевод с английского. — М.: Машиностроение, 1976. — 389 с.