Відкрити головне меню

Перевірка статистичних гіпотез — клас базових задач в математичній статистиці.

Зміст

Статистичні гіпотезиРедагувати

ВизначенняРедагувати

Нехай у (статистичному) експерименті спостерігається реалізація   деякої випадкової величини  , розподіл якої   невідомий повністю чи частково. Тоді будь-яке твердження, що стосується  , називається статистичною гіпотезою. Гіпотези розрізняються за видом припущень, що містяться в них:

  • Статистична гіпотеза, що однозначно визначає розподіл  , тобто  , де   якийсь конкретний закон, що має назву простий.
  • Статистична гіпотеза, що стверджує, що розподіл   належить до деякої сім'ї розподілів, тобто виду  , де   — сім'ю розподілів, що має назву складна.

На практиці зазвичай потрібно перевірити якусь конкретну і, як правило, просту гіпотезу  . Таку гіпотезу прийнято називати нульовою. При цьому паралельно розглядається гіпотеза, що суперечить їй  , що називається конкуруючою або альтернативною.

Висунута гіпотеза потребує перевірки, яка здійснюється статистичними методами, тому гіпотезу називають статистичною. Для перевірки гіпотези використовують критерії, що дозволяють прийняти або спростувати гіпотезу.

В більшості випадків статистичні критерії засновані на випадковій вибірці   фіксованого об'єму   з розподілу  . У послідовному аналізі вибірка формується в ході самого експерименту і тому її об'єм є випадковим величиною.

ПрикладРедагувати

Нехай дано незалежну вибірку   з нормального розподілу, де   — невідомий параметр. Тоді  , де   — фіксована стала, є простою гіпотезою, а альтернативна до неї   — складною.

Етапи перевірки статистичних гіпотезРедагувати

  1. Формулювання основної гіпотези   і конкуруючої гіпотези  . Гіпотези повинні бути чітко формалізовані в математичних термінах.
  2. Задання вірогідності  , що називається рівнем значущості і що відповідає помилкам першого роду, на якому надалі і буде зроблений висновок про правдивість гіпотези.
  3. Розрахунок статистики   критерію такий, що:
    • її величина залежить від початкової вибірки  ;
    • за її значенням можна зробити висновки про істинність гіпотези  ;
    • сама статистика   повинна підкорятися якомусь невідомому закону розподілу, так як сама   є випадковою в силу випадковості  .
  4. Побудова критичної області. З області значень   виділяємо підмножину   таких значень, за якими можна судити про суттєвість розбіжностей з припущенням. Її розмір вибирається таким чином, щоб виконувалась рівність  . Ця множина   і називається критичною областю.
  5. Висновок про істинність гіпотези. Спостережувані значення вибірки підставляються в статистику   і за попаданням (або непопаданням) у критичну область   виноситься ухвала про відкидання (або ухвалення) висунутої гіпотези  .

Види критичної областіРедагувати

  • Двобічна критична область визначається двома інтервалами  , де   знаходять з умов  .
  • Лівобічна критична область визначається інтервалом  , де   знаходять з умови  .
  • Правобічна критична область визначається інтервалом  , де   знаходять з умови  .

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати