Відкрити головне меню

Парадокс Буралі-Форті — в теорії множин демонструє, що припущення про існування множини всіх порядкових чисел веде до суперечностей і, отже, суперечливою є теорія, в якій побудова такої множини можлива.

ФормулюванняРедагувати

У математичній літературі зустрічаються різні формулювання, що спираються на різну термінологію і можливий набір відомих теорем. Ось одне з можливих формулювань.

Припустимо, що   - множина усіх порядкових чисел, тоді множина-сума ∑( ) зберігає властивості порядкового числа і є порядковим числом. Уявімо деяке число ∑( ) + 1; тоді (∑( ) + 1) > ∑( ). Проте оскільки ∑( ) є порядковим числом і зберігає властивості порядкових чисел, то ∑( ) + 1 є елементом  , а отже (∑( ) + 1) < ∑( ). Це твердження суперечить встановленій нами раніше нерівності (∑( ) + 1) > ∑( ), тому усе твердження є суперечливим, а отже суперечливою є і теорія, що допускає таке твердження.

ІсторіяРедагувати

Парадокс був виявлений Чезаре Буралі-Форті в 1897 року і виявився одним з перших парадоксів, які показали, що наївна теорія множин суперечлива, а отже, непридатна для потреб математики. Неіснування безлічі всіх порядкових чисел суперечить концепції наївної теорії множин, яка дозволяє побудову множин з довільною властивістю елементів, тобто термів виду «множина всіх   таких, що  » ( ).

Сучасна аксіоматична теорія множин накладає суворі обмеження на вид умови  , за допомогою якого можна утворювати множини. У аксіоматичних системах типу Геделя — Бернайса дозволяється вираження терми   для довільних  , але із застереженням, що він може виявитися не множиною, а класом.

Див. такожРедагувати