Панцифрове число
Панцифрове число — ціле число, для якого в заданій основі серед значимих цифр зустрічається кожна цифра цієї основи хоча б раз. Наприклад 1 223 334 444 555 567 890 — панцифрове число з основою 10. Декілька перших панцифрових десяткових чисел:[1]
1 023 456 789, 1 023 456 798, 1 023 456 879, 1 023 456 897, 1 023 456 978, 1 023 456 987, 1 023 457 689
Найменше панцифрове число при заданій основі b в десятковому записі можна отримати формулою:[2]
Далі наведено кілька найменших панцифрових чисел для певних основ:
| Основа | Найменше панцифрове | Десяткове значення |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 |
| 3 | 102 | 11 |
| 4 | 1 023 | 75 |
| 8 | 10234567 | 2 177 399 |
| 10 | 1 023 456 789 | 1 023 456 789 |
| 12 | 1023456789AB | 754 777 787 027 |
| 16 | 1023456789ABCDEF | 1 162 849 439 785 405 935 |
| 36 | 1023456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ | 2 959 962 226 643 665 039 859 858 867 133 882 191 922 999 717 199 870 715 |
| Римське числення |
MCDXLIV | 1 444 |
В тривіальному сенсі, усі додатні цілі числа з основою 1 є панцифровими. В бінарному записі усі цілі числа панцифрові окрім 0 і чисел Мерсенна — . Чим більша основа, тим рідше зустрічаються панцифрові числа, хоча завжди можна знайти послідовність записавши всі цифри основи (не ставлячи нуль на перше місце), і додати певну кількість нулів до кінця числа.
І навпаки, чим менша основа, тим менше існує панцифрових чисел з неповторними цифрами. Єдине таке число для основи 2 це 2, але їх більше для основи 10.
В деяких випадках термін використовують для позначення тільки чисел з неповторними цифрами. Іноді число називають панцифровим навіть якщо воно не має нуля як значимої цифри, наприклад, 923 456 781.
Панцифрове число з основою 10 не може бути простим якщо воно не містить повторних цифр. Сума від 0 до 9 дорівнює 45, що задовільняє ознаку подільності для 3 і 9. Перше просте панцифрове число з основою 10 це 10 123 457 689.[3]
Повторні цифри також мають бути присутні якщо панцифрове число є паліндромним[en] (в усіх базах окрім унарної). Найменше панцифрове паліндромне число в базі 10 є 1 023 456 789 876 543 201.
Найбільше панцифрове число без повторних чисел яке також є квадратом рівне 9 814 072 356.
Два панцифрових числа Фрідмана без нуля є 123 456 789 = ((86 + 2 × 7)5 — 91) / 34, і 987 654 321 = (8 × (97 + 6/2)5 + 1) / 34.
Хоча більшість сказаного не розповсюджується на римське числення, панцифрові числа наявні і в ньому: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI.[4]
Панцифрові числа використовуються у фантастиці і рекламі. Номер соціального страхування[en] 987-65-4321 — зарезервоване панцифрове число для використання в рекламі. Деякі компанії використовують панцифрові числа з повторними цифрами для кредитних карток що використовуються для прикладу (інші використовують рядок нулів).
Приклади панцифрових чисел з основою 10 ред.
- 123 456 789 — перше панцифрове число без нуля.
- 3 816 547 290 — єдине панцифрове число в якому перші n цифр діляться на n.
- 9 876 543 210 — Найбільше панцифрове число без повторюваних цифр.
- 1 023 456 789 — Перше панцифрове число.
- 9 814 072 356 — Найбільший панцифровий квадрат без повторних цифр (квадрат 99 066).
- 12 345 678 987 654 321 — Панцифрове число з усіма цифрами окрім нуля в зростаючому і спадаючому порядку. Квадрат 111 111 111. Також є паліндромом.
Посилання ред.
- Weisstein, Eric W. Pandigital number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- De Geest, P. The Nine Digits Page(англ.)
