Проєкційна матриця
Квадратна матриця з комплексними елементами називається проєкційною, якщо виконується
Якщо виконується то матриця називається ортогонально-проєкційною.
- Проєкційні матриці називаються ортогональними, якщо
З точки зору абстрактної алгебри проєкційні матриці — це ідемпотентні елементи кільця квадратних матриць.
Властивості
ред.- Кожна ортогональна-проєкційна матриця є проєкційною і одночасно ермітовою матрицею, оскільки:
- Якщо матриця є проєкційною, то матриці
- теж будуть проєкційними.
- Якщо матриця є ортогонально-проєкційною, то матриці
- теж будуть ортогонально-проєкційними.
- Якщо матриця є ортогонально-проєкційною, то
- Власні значення проєкційних матриць можуть приймати значення тільки +1 та 0, що легко побачити з розкладу матриці по її власних векторах.
- Ортогонально-проєкційні матриці є невід'ємноозначеними матрицями.
Ортогональні проєктори на підпростір
ред.- Найпростішим випадком ортогональної проєкції є проєкція на лінію вектора. Якщо u є одиничним вектором, тоді проєктором на лінію вздовж вектора буде матриця
- Довільна прямокутна матриця вводить дві ортогонально-проєкційні матриці:
- — проєктор в просторі на підпростір векторів-рядків матриці
- — проєктор в просторі на підпростір векторів-стовпців матриці
- Проєктори на ортогональне доповнення до даних підпросторів, позначаються:
Для ще використовують позначення та відповідно.
- — псевдообернена матриця до матриці A.
Приклади
ред.- Одинична матриця є проєктивною.
Застосування
ред.- Застосовується при QR розкладі матриці в методах: Процес Грама — Шмідта, Перетворення Хаусхолдера.
- Застосовується при сингулярному розкладі матриці.
Див. також
ред.Джерела
ред.- Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)