Описаний багатокутник

опуклий багатокутник, що містить вписане коло

Описаний багатокутник, відомий також як тангенціальний багатокутник — це опуклий багатокутник, що містить вписане коло. Це таке коло, відносно якого кожна сторона описаного багатокутника є дотичною. Двоїстий багатокутник[en] описаного багатокутника — це багатокутник, який має описане коло, що проходить через усі його вершини.

Описана трапеція

Всі трикутники є описаними для якогось кола, як і всі правильні багатокутники з довільним числом сторін. Добре вивчена група описаних багатокутників — описані чотирикутники, куди входять ромби і дельтоїди.

ОписиРедагувати

Опуклий багатокутник має вписане коло тоді й лише тоді, коли всі його внутрішні бісектриси кутів конкурентні (перетинаються в одній точці) і ця спільна точка перетину є центром уписаного кола[1].

Існує описаний багатокутник з n послідовними сторонами   тоді і тільки тоді, коли система рівнянь

 

має розв'язок   у додатних дійсних числах[2]. Якщо такий розв'язок існує, то   є дотичними довжинами багатокутника (довжинами від вершини до точки дотику на стороні).

Єдиність і неєдиністьРедагувати

Якщо число сторін n непарне, то для будь-якого заданого набору довжин сторін  , що задовольняють критерію, наведеному вище, існує тільки один описаний багатокутник. Але якщо n парне, їх існує нескінченне число[3]. Наприклад, у разі чотирикутника, коли всі сторони рівні, ми будемо мати ромб з будь-якою величиною гострого кута і всі ці ромби будуть описані навколо якого-небудь кола.

Радіус вписаного колаРедагувати

Якщо довжини сторін описаного багатокутника дорівнюють  , то радіус уписаного кола дорівнює[4]

 

де K — площа багатокутника, а s — його півпериметр. (Оскільки всі трикутники мають уписане коло, ця формула застосовна до всіх трикутників.)

Інші властивостіРедагувати

  • Для описаного багатокутника з непарним числом сторін усі сторони рівні тоді й лише тоді, коли кути рівні (правильний багатокутник). Описаний багатокутник з парним числом сторін має всі сторони рівними тоді й лише тоді, коли кути почергово рівні.
  • В описаному багатокутнику з парним числом сторін сума довжин непарних сторін дорівнює сумі довжин парних сторін[2].
  • Описаний багатокутник має більшу площу, ніж будь-який інший багатокутник з тим самим периметром і такими самими внутрішніми кутами в тій самій послідовності[5][6].
  • Барицентр будь-якого описаного багатокутника, барицентр його точок межі і центр уписаного кола колінеарні і барицентр багатокутника міститься між двома іншими зазначеними центрами і вдвічі далі від центра вписаного кола, ніж від барицентра межі[7].

Описаний трикутникРедагувати

Всі трикутники мають деяке вписане коло. Трикутник називають тангенціальним трикутником розглянутого трикутника, якщо всі точки дотику тангенціального трикутника кола є вершинами розглянутого трикутника.

Описаний чотирикутникРедагувати

Описаний шестикутникРедагувати

 
Конкурентні головні діагоналі

ПриміткиРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14 (16 жовтня). — С. 389–396.
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images. — Mathematical Association of America, 2011. — Т. 45. — (Dolciani Mathematical Expositions)
  • Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вип. 95 (March).
  • Owen Byer, Felix Lazebnik, Deirdre Smeltzer. Methods for Euclidean Geometry. — 2010. — ISBN 9780883857632.
  • Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović. The IMO Compendium. — Springer, 2006. — ISBN 978-1-4419-9853-8.
  • Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Figures Circumscribing Circles // American Mathematical Monthly. — 2004. — Т. 111 (December). — С. 853–863. — DOI:10.2307/4145094. Процитовано 6 April 2016.
  • Tom Apostol. =erratum // American Mathematical Monthly. — 2005. — Т. 112, вип. 10 (December). — DOI:10.1080/00029890.2005.11920274.