Ознака подільності чисел

Ознака подільності - алгоритм, що дозволяє порівняно швидко визначити, чи є число кратним заздалегідь заданому. Якщо ознака подільності дозволяє з'ясувати не тільки подільність числа на заздалегідь заданий, але і залишок від ділення, то його називають 'ознакою рівноостаточності'.

Як правило, ознаки подільності застосовуються при ручному рахунку і для чисел, представлених в конкретній позиційній системі числення (зазвичай десяткового).

Ознаки подільності чисел

на 2

Ознака

На 2 ділиться без остачі будь-яке ціле число, остання цифра якого парна (0, 2, 4, 6, 8) (наприклад: 58/2=29, 1004/2=502).

Доведення: будь-яке ціле число можна представити у вигляді суми першого розряду та решти числа. Нехай |a|=b₁+10b₂, де b₁ — перший розряд a, b₂ — число, що складається з решти розрядів a. Якщо поділити a на 2, то вираз b₁+10b₂ можна розписати, як b₁/2+10b₂/2, або b₁/2+5b₂. Отже b₁ має націло ділитись на 2. Оскільки воно лежить в межах від 0 до 9, і є натуральним числом, то воно може бути одним з п'яти наступних чисел: 0, 2, 4, 6, 8.

на 3

Число ділиться на 3 тоді, коли сума його цифр ділиться на 3. Наприклад: 57 в сумі має цифру 12. 12:3 = 4, отже число ділиться на 3

на 4

Число ділиться на 4 тоді, коли його останні дві цифри утворюють число подільне на 4 (наприклад: 128/4 = 32) або коли дві останні цифри нулі.

на 5

Ознака

На 5 ділиться будь-яке ціле число, остання цифра якого дорівнює 5 або 0 (наприклад: 65/5=13, 783910/5=156782).

Доведення

Нехай a=b₁+10b₂, де b₁ — перший розряд a, а b₂ — число, що складається з решти розрядів числа a. Якщо a поділити на 5, то вираз b₁+10b₂ можна переписати так: b₁/5+10b₂/5, або так b₁/5+2b₂. Отже b₁ має націло ділитися на 5. Оскільки b₁ натуральне та лежить в межах від 0 до 9, то воно може набирати одне з двох значень: 0 або 5.

на 6

Ознака

Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 2 та на 3.

на 7

Число 7 буде дільником заданого числа у випадку якщо виконується одне з правил: Якщо потроєна сума десятків разом з одиницями ділиться на 7. Наприклад, перевіримо число 112 за ознаками подільності 3*11+2=35; 35/7=5. Правило виконується, отже 112 ділиться на 7. Якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр та числа з двох останніх цифр ділиться на 7. Наприклад, 168 ділиться на 7, оскільки 2*1+68=70; 70 /7 = 10. Якщо сума чисел: числа без останньої цифри, та останньої цифри помноженої на 5, ділиться на 7. Наприклад, 161 ділиться на 7, оскільки 16+5*1=21; 21/7 =3 ділиться на 7 націло.

на 8

Ознака

Число ділиться на 8 тільки тоді, якщо число, утворене його трьома останніми цифрами, ділиться на 8. (наприклад: 128/8 = 16, 1800 / 8 = 225).

Доведення

Діємо аналогічно випадку для подільності на 4. Представимо число N у вигляді A*1000 + B. Оскільки 1000 ділиться на 8, то число N ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 8. Але саме B і є числом, утвореним трьома останніми цифрами числа N.

на 9

Ознака

Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, якщо сума його цифр у десятковому запису ділиться на 9 (наприклад: 333/9 = 37, 1111111101 / 9 = 123456789).

Доведення

Будь-яке число А можна представити у вигляді А = a₀*10^k + a₁*10^{k — 1} + … + a_k-1*10¹ + a_k*10⁰, де a₀, a₁,.., a_k — цифри числа А з найбільш значущої до найменш значущої (розряду одиниць). Сума декількох чисел ділиться на число Y тоді і тільки тоді, коли сума залишків цих чисел при діленні на Y також ділиться на Y. Іншими словами:

(x₀ + x₁ + … + x_k) mod Y = ((x₀ mod Y) + (x₁ mod Y) + … + (x_k mod Y)) mod Y.

Аналогічне співвідношення виконується і для множення:
(x₀ * x₁ * … * x_k) mod Y = ((x₀ mod Y) * (x₁ mod Y) * … * (x_k mod Y)) mod Y.

Останнім кроком у нашому доведенні буде помітити, що усі ступені числа 10 (1, 10, 100, 1000, …) дають у залишку 1 при діленні на 9. Отже: А mod 9 = (a₀*10^k + a₁*10^{k — 1} + … + a_{k  -1}*10¹ + a_k*10⁰) mod 9 = (((a₀*10^k) mod 9) + ((a₁*10^{k — 1}) mod 9) + … + ((a₁*10¹) mod 9) + ((a_k*10⁰) mod 9)) mod 9 = (a₀ + a₁ + … + a_{k — 1} + a_k) mod 9,

що необхідно було довести.

на 10

Ознака

Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, якщо остання його цифра — 0. ('наприклад: 370/10 = 37, 1111111110 / 10 = 111111111).

Доведення

Оскільки кожне число N = A * 10 + B, де B — його остання цифра, то N ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 10. Оскільки B — цифра від 0 до 9, то для того, щоб ділитись на 10, B має бути нулем.

Зауваження

За допомогою ознак подільності, які отримані з перетворення виразу N = 10A + B, не можна дізнатися модуль числа N, якщо $\ N\equiv m_{1}{\pmod {m}}$, де

$m_{1}\in \ {0,1,2,...,N-1}$

Наприклад, ознака подільності числа N на 7:

$\ N\equiv (A+5*B){\pmod {7}}$

Працює лише для $\ N\equiv 0{\pmod {7}}$, тому що отримана з рівності:

$\ N=7(A-2B)+3(A+5B)$

Отже, для $\ N\equiv m_{1}{\pmod {m}}$ має виконуватися рівність:

$\ 3(A+5B)\equiv m_{1}{\pmod {7}}.$

Таблиця подільності

Дільник	Умова Подільності	Приклади
2	Остання цифра є парною	1,294: 4 є парне.
3	Сума цифр повинна ділитися на 3.	405: 4 + 0 + 5 = 9. 9 ділиться на 3.
4	Якщо число, утворене двома останніми цифрами ділиться на 4.	2,092: 92 ділиться на 4.
5	Остання цифра або 5 або 0.	490: остання цифра 0.
6	Якщо число ділиться на 2 і на 3.	24: число ділиться на 2 і на 3.
7	Число розбивається на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Число ділиться на 7, якщо різниця суми блоків, що стоять на парних місцях, і суми блоків, що стоять на непарних місцях, ділиться на 7.	2,911,272: 911 — (2 + 272) = 637. 637 ділиться на 7.
	Якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр і останніх двох цифр ділиться на 7.	364: (3x2) + 64 = 70. 70 ділиться на 7.
	Якщо сума числа без останньої цифри і останньої цифри, помноженої на 5, ділиться на 7	364: 36 + (5×4) = 56. 56 ділиться на 7.
	Різниця між числом без останньої цифри і подвоєної останньої цифри повинна ділитись на 7.	364: 36 − (2×4) = 28. 28 ділиться на 7.
8	Якщо число, утворене останніми трьома цифрами, ділиться на 8.	5,128: 128 ділиться на 8.
	Якщо число сотень є парне, то число, утворене двома останніми цифрами повинне ділитись на 8.	624: 6 — парне, 24 ділиться на 8.
	Якщо число сотень є непарним, то до числа, утвореного двома останніми цифрами, потрібно додати 4. Таке число повинне ділитись на 8.	352: 52+4 = 56. 56 ділиться на 8.
9	Сума цифр повинна ділитися на 9.	2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18. 18 ділиться на 9.
10	Остання цифра 0.	130: остання цифра 0.
11	Число розбивається на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Сума блоків повинна ділитись на 11.	627: 6 + 27 = 33. 33 ділиться на 11.
	Якщо різниця між числом без останньої цифри і останньою цифрою ділиться на 11.	627: 62 — 7 = 55. 55 ділиться на 11.
	Якщо сума цифр, що стоять на парних місцях відрізняється від суми цифр, що стоять на непарних місцях, починаючи з кінця, на число, що кратне 11.	182,919: (9 + 9 + 8) — (1 + 2 + 1) = 22.
12	Якщо число ділиться на 3 і на 4.	324: воно ділиться і на 3, і на 4.
	Число без останньої цифри множать на два і віднімають останню цифру. Таке число повинне ділитись на 12.	324: (32x2) − 4 = 60. 60 ділиться на 12.
13	Число ділиться на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Сумуються блоки, що стоять на парних і непарних місцях. Різниця цих сум повинна ділитись на 13.	2,911,272: 911 — (2 + 272) = 637. 637 ділиться на 13.
	До числа без останньої цифри додають останню цифру, помножену на 4. Утворене число повинне ділитись на 13.	338: 33 + (8×4) = 65. 65 ділиться на 13.
	Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 9. Утворене число повинне ділитись на 13.	637: 63 − (7×9) = 0. 0 ділиться на 13.
14	Якщо число ділиться на 2 і на 7.	224: воно ділиться на і на 2, і на 7.
	Число без останніх двох цифр множать на 2. До результату додають число, утворене двома останніми двома цифрами. Сума повинна ділитись на 14.	364: (3x2) + 64 = 70.
15	Якщо число ділиться на 3 і на 5.	390: число ділиться на 3 і на 5.
16	Якщо число тисяч є парним, то перевіряють число, складене з останніх трьох цифр.	254,176: 176 ділиться на 16.
	Якщо число тисяч є непарним, то до числа, утвореного останніми трьома цифрами, додають 8.	3,408: 408+8 = 416. 416 ділиться на 16.
	Число без останніх двох цифр множать на 4 і додають число, утворене останніми двома цифрами. Результат повинен ділитись на 16.	176: (1x4) + 76 = 80. 80 ділиться на 16.
17	Число без останніх двох цифр множать на 2 і додають число, утворене останніми двома цифрами. Результат повинен ділитись на 17.	187: − (1x2) + 87 = 85. 85 ділиться на 17.
	Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 5. Результат повинен ділитись на 17.	85: − 8 + (5×5) = 17.
18	Якщо число ділиться на 2 і на 9.	342: воно ділиться і на 2, і на 9.
19	До числа без останньої цифри додають подвоєну останню цифру. Результат повинен ділитись на 19.	437: 43 + (7x2) = 57. 57 ділиться на 19.
20	Якщо число ділиться на 10 і число десятків є парне.	360: число ділиться на 10 і 6 є парним.
	Якщо число, утворенне двома останніми цифрами ділиться на 20.	480: 80 ділиться на 20.
22	Якщо число закінчується на парну цифру й ділиться на 11.	6886: ділиться на 11 і закінчується парним.
25	Якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 25.	134,250: 50 ділиться на 25.
26	Якщо число ділиться на 13 і є парним.	2,911,272: число ділиться на 13 і є парним.
27	Число ділять на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Сума утворених блоків повинна ділитись на 27.	2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918. 918 ділиться на 27.
	Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 8.	621: 62 − (1×8) = 54. 54 ділиться на 27.
32	Якщо число десятків тисяч є парним, то перевіряють на подільність число, утворене останніми чотирма цифрами.	41,312: 1312 ділиться на 32.
	Якщо число десятків тисяч є непарним, то до числа, утвореного останніми чотирма цифрами, додають 16.	254,176: 4176+16 = 4192. 4192 ділиться на 32.
	Число без останніх двох цифр множать на 4 і до результату додають останні дві цифри. Суму перевіряють на подільність на 32.	1,312: (13x4) + 12 = 64. 64 ділиться на 32.
33	Якщо число ділиться на 11 і на 3.	1,003,002: число ділиться на 11 і на 3.
	Число ділять на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Утворені блоками числа сумують. Результат повинен ділитись на 33.	627: 6 + 27 = 33.
37	Число ділять на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Число, утворені блоками сумують. Сума повинна ділитись на 37.	2,651,272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 ділиться на 37.
	Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 11. Результат повинен ділитися на 37.	925: 92 − (5x11) = 37.
49	До числа без останньої цифри додають останню цифру, помножену на 5. Таке число повинне ділитись на 49.	1,127: 112 + (7×5) = 147. 147 ділиться на 49.
125	Якщо число утворене останніми трьома цифрами ділиться на 125	34650: 650 ділиться на 125

Див. також

• Подільність
• Таблиця дільників

Джерела

• Воробьёв Николай Николаевич. Признаки делимости. — 4-е, исправленное. — Москва : «Наука», 1988. — 96 с. — («Популярные лекции по математике», выпуск 39) — 165 000 прим. — ISBN 5-02-013731-6. (рос.)