Обговорення:Відношення еквівалентності

Ця стаття є частиною Проєкту:Математика (рівень: 3, важливість: найвища)
	Мета проєкту — створення якісних та інформативних статей на теми, пов'язані з Математикою. Ви можете покращити цю статтю, відредагувавши її, а на сторінці проєкту вказано, чим ще можна допомогти. Учасники проєкту будуть вам вдячні.
III (у розвитку)	Ця стаття за шкалою оцінок статей Проєкту:Математика має рівень «стаття у розвитку».
Найвища	Важливість цієї статті для проєкту Математика: «найвища»
	Чим допомогти: Статті до створення та доопрацювання

Дополнение к статье "Вiдношення эквiвалентностi"

$~d\vdash \ R\ \mathrm {is\ an\ equivalence\ relation\ on} \ A.\ \leftrightarrow \ R\subseteq A\times A\quad \land \quad R\neq \varnothing \quad \land \quad \forall _{x\ \in \ A}\ (\langle x,x\rangle \in R)\quad \land$

$~\forall _{\{x,y\}\ \subseteq \ A}\ (\langle x,y\rangle \in R\to \langle y,x\rangle \in R)\ \ \ \land \ \ \ \forall _{\{x,y,z\}\ \subseteq \ A}\ (\langle x,y\rangle \in R\ \land \ \langle y,z\rangle \in R\to \langle x,z\rangle \in R)$

Примечания

0. R is an equivalence relation on A. $~\Leftrightarrow$ R is a reflexive, symmetric and transitive relation on A.

1. $~\forall _{x\ \in \ A}\ (\langle x,x\rangle \in R)\ \Leftrightarrow \ \forall x\ (x\in A\to \langle x,x\rangle \in R)$

2. $~\forall _{\{x,y\}\ \subseteq A}\ (\langle x,y\rangle \in R\to \langle y,x\rangle \in R)\ \Leftrightarrow \ \forall x\forall y\ (x\in A\ \land \ y\in A\to (\langle x,y\rangle \in R\to \langle y,x\rangle \in R))$

3. $~\forall _{\{x,y,z\}\ \subseteq \ A}\ (\langle x,y\rangle \in R\ \land \ \langle y,z\rangle \in R\ \to \ \langle x,z\rangle \in R)\quad \Leftrightarrow$

$~\forall x\forall y\forall z\ (x\in A\ \land \ y\in A\ \land \ z\in A\ \to \ (\langle x,y\rangle \in R\ \land \ \langle y,z\rangle \in R\ \to \ \langle x,z\rangle \in R))$

4. Полагая

$~\langle x,x\rangle \in R\ \Leftrightarrow \ xRx$,

$~\langle x,y\rangle \in R\ \Leftrightarrow \ xRy$,

$~\langle y,x\rangle \in R\ \Leftrightarrow \ yRx$,

$~\langle y,z\rangle \in R\ \Leftrightarrow \ yRz$,

$~\langle x,z\rangle \in R\ \Leftrightarrow \ xRz$,

перепишем определение отношения эквивалетности в виде:

$~d\vdash \ R\ \mathrm {is\ an\ equivalence\ relation\ on} \ A.\ \leftrightarrow \ R\subseteq A\times A\quad \land \quad R\neq \varnothing \quad \land \quad \forall _{x\ \in \ A}\ (xRx)\quad \land$

$~\forall _{\{x,y\}\ \subseteq A}\ (xRy\ \to \ yRx)\quad \land \quad \forall _{\{x,y,z\}\ \subseteq \ A}\ (xRy\ \land \ yRz\ \to \ xRz)$

5. Положим

$~R\ =\ \sim$,

и перепишем определение отношения эквивалентности в виде:

$~d\vdash \ \ \sim \ \mathrm {is\ an\ equivalence\ relation\ on} \ A.\quad \leftrightarrow \quad \sim \ \subseteq A\times A\ \ \ \land \ \ \ \sim \ \neq \varnothing \ \ \ \land \ \ \ \forall _{x\ \in \ A}\ (x\sim x)\ \ \land$

$~\forall _{\{x,y\}\ \subseteq \ A}\ (x\sim y\ \to \ y\sim x)\quad \land \quad \forall _{\{x,y,z\}\ \subseteq \ A}\ (x\sim y\ \land \ y\sim z\ \to \ x\sim z)$

Галактион 10:34, 13 серпня 2009 (UTC)