Нуль (комплексний аналіз)

Нуль голоморфної функції $f(z)$ — у комплексному аналізі число $z=a$ таке, що обертає функцію в нуль:$f(a)=0$. При цьому нуль може бути як дійсним, так і комплексним числом.

Обчислення нулів

Якщо $z=a\neq \infty$ — нуль, і функція $f(z)$ має розвинення в ряд Тейлора у вигляді $\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-a)^{n}$, то $C_{0}=f(a)=0$. Якщо $C_{m}$ перший відмінний від нуля коефіцієнт розвинення, тобто $f(z)=C_{m}(z-a)^{m}+C_{m+1}(z-a)^{m+1}+...$, то число m — порядок, або кратність нуля функції $f(z)$.

Оскільки $C_{k}={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}$, то порядок нуля дорівнює порядку похідної, відмінної від нуля в точці a.

Точка $z=a\neq \infty$ є нулем порядку m тоді і тільки тоді, коли функція перетворюється у вигляд $f(z)=(z-a)^{m}g(z),\quad g(a)\neq 0$, а $g(z)$ — голоморфна в точці а.

Існування нулів

Основна теорема алгебри стверджує, що відмінний від сталої многочлен має хоча б один нуль у комплексній площині. На відміну від дійсних функцій, які нулів можуть і не мати, наприклад, $f(x)=x^{2}+1$ не має нулів у дійсній множині.

Властивості

Нулі голоморфної функції завжди ізольовані. Тобто існує такий окіл а, в якому немає інших нулів функції $f(z)$ відмінних від а.

Див. також

• Полюс (комплексний аналіз)

Джерела

• Грищенко А. О., Нагнибіда М. І., Настасів П. П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.