Відкрити головне меню
Розвиток нестабільності Релея - Тейлора.

Нестійкість Релея - Тейлора - виникає між двома контактуючими суцільними середовищами різної щільності, коли більш важка рідина штовхає більш легку. Прикладом такої нестійкості може служити нестійкість краплі води на поверхні олії - вода буде намагатися проникнути крізь олію.

Основним параметром, що визначає швидкість розвитку цієї нестабільності є число Атвуда.

Аналітичний описРедагувати

Задача про нестійкості Релея — Тейлора має аналітичне рішення в рамках лінійної теорії стійкості.

Нехай два протяжних плоских горизонтальних шару рідини розташовані в полі тяжіння   один над одним, причому більш важка рідина 1 знаходиться вгорі (на ілюстрації — синій колір), щільності рідин  . Верхня і нижня межі — тверді. Для простоти зручно користуватися моделлю нев'язкої нестисливої рідини, тоді система описується рівнянням Ейлера:

 
 

Надалі компоненти швидкості визначаються як  . Цілком очевидно, що рівноважне рішення ( ) задовольняє моделі, при цьому з рівняння Ейлера для тиску виходить наступне:

 

Звідки визначається рівноважний розподіл тиску (відомий результат для тиску стовпа рідини):

 

Внесемо в рівноважний стан малі збурення. Нехай швидкість   настільки мала, що можна знехтувати нелінійним доданком   в рівнянні Ейлера, а тиск має вигляд  , де  . Тоді отримаємо лінійну систему рівнянь для малих збурень (далі штрих у тиску опущений):

 
 

Граничні умови задаються виходячи з міркувань рівності z-компонент швидкості рідин 1 і 2 на межі розділу і наявності поверхневого натягу. На верхній і нижній межах, тому що рідина ідеальна, працюють умови непротікання. Зручно прийняти координату кордону розділу в рівновазі за 0. На ній виконується кінематична умова

 

і динамічна умова

 

Умова непротікання верхньої і нижньої меж:

 

де   — величина відхилення кордону від незбуреної,   — коефіцієнт поверхневого натягу. Отримана завдання для збурень легко вирішується. Припустимо, що збурення мають вигляд:

 

де   — швидкість росту (інкремент) обурення,   — компоненти хвильового вектора обурення кордону.

З рівняння Ейлера виражається  :

 

а умова   дає рівняння Лапласа для тиску. У результаті, швидкість течії із завдання вдається виключити. Залишається лінійне рівняння:

 

з граничними умовами:

 
 
 

Рішення рівняння Лапласа для тиску:

 
 

Константи   визначаються з кінематичного умови. Динамічне умова дає зв'язок між інкремент і модулем хвильового вектора

 


звідки безпосередньо випливає вираз для критичного хвильового числа збурень (при  ):

 .

Якщо довжина хвилі більша за критичну, то обурення кордону будуть наростати.

У граничному випадку нескінченно глибоких шарів ( ) найбільша швидкість росту збурень досягається при хвильовому числі

 .

У тонких шарах ( ):

 .

ЛітератураРедагувати

  • Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механіка двофазних систем. / / М.: Видавництво МЕІ, 2000. - С. 143-146.
  • Векштейн Г.Є. Фізика суцільних середовищ в завдання. / / М.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. - С. 109-111.

ПосиланняРедагувати