Нерівність Ерміта — Адамара

У математичному аналізі нерівність Ерміта — Адамара, встановлює межі інтегралу опуклої на інтервалі функції:

Ілюстрація нерівності Ерміта — Адамара.

Нерівності названі на честь Шарля Ерміта і Жака Адамара.

Попри те, що нерівності були відомими досить давно і для них є досить багато застосувань, вони не є настільки добре відомі, як деякі інші властивості опуклих функцій, зокрема нерівність Єнсена.

ДоведенняРедагувати

Оскільки функція   є опуклою на інтервалі, вона є неперервною і диференційовною справа і зліва у кожній точці інтервалу. Позначимо ліві і праві похідні   і   відповідно. Для кожного  , введемо функцію

 

для якої

 

Зокрема для   :

 

Навпаки, зважаючи на опуклість f:

 

Проінтегрувавши отримуємо:

 

ЗастосуванняРедагувати

  • Формула Стірлінга. Розглянемо функцію  . Вона є опуклою оскільки  . Використавши нерівність Ерміта — Адамара на інтервалі   отримуємо
   .
Звідси для довільного натурального числа  
  або  .
Ці нерівності можна використати для доведення формули Стірлінга. Для цього зручніше переписати останню нерівність пропотенціювавши її . Тоді формула Стірлінга може бути отримана, якщо ввести послідовність  . Оскільки з означень   , то з отриманих вище нерівностей  . Звідси відразу отримуємо, що послідовність   є спадною і обмеженою знизу, а послідовність   є зростаючою і обмеженою зверху. Оскільки   то  . Тому для кожного натурального числа знайдеться таке  , що  . Повертаючись до означення послідовності отримуємо  . За допомогою, наприклад, формули Валліса можна знайти[1]   , що завершить доведення.
  • Нерівності між середніми. Розглянемо функцію  . Вона є строго опуклою на всій множині дійсних чисел і тому для усіх   згідно з нерівністю Ерміта — Адамара
 .
Якщо взяти   для додатних  , то отримаємо:
 ,
тобто нерівності між геометричним, логарифмічним і арифметичним середніми.
  • Тригонометричні нерівності. Розглянемо функцію  . На цьому проміжку функція є вгнутою. Тому згідно з нерівністю Ерміта — Адамара (в якій для вгнутих функцій лише треба змінити напрямок нерівностей) для   :
 .
Нехай тепер  . Тоді  .
Використаємо тригонометричні тотожності   і  .
У першій нерівності вище після використання тотожності для різниці косинусів і скорочення отримаємо  .
У другій нерівності після використання тотожностей для суми синусів і різниці косинусів і скорочень отримаємо  . Позначивши  , отримаємо відомі нерівності   для всіх  .

Оцінка точності нерівностейРедагувати

  • Припустимо, що функція   є опуклою і двічі диференційовною в усіх точках інтервалу і також   для всіх  . Тоді функції   і   теж є опуклими в цьому інтервалі. Застосування до цих функцій нерівностей Ерміта — Адамара дає оцінки точності
 
і
 
  • Нехай  ліпшицева на інтервалі функція і   — константа Ліпшиця цієї функції. Тоді
  — нерівність Островського,
  — нерівність Ієнґара.

ПриміткиРедагувати

  1. Див. наприклад Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.), сторінка 371.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати