У математичному аналізі нерівність Ерміта — Адамара , встановлює межі інтегралу опуклої на інтервалі функції:
Ілюстрація нерівності Ерміта — Адамара.
f
(
a
+
b
2
)
≤
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
.
{\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}
Нерівності названі на честь Шарля Ерміта і Жака Адамара .
Попри те, що нерівності були відомими досить давно і для них є досить багато застосувань, вони не є настільки добре відомі, як деякі інші властивості опуклих функцій, зокрема нерівність Єнсена .
Доведення
ред.
Оскільки функція
f
{\displaystyle f}
неперервною і диференційовною справа і зліва у кожній точці інтервалу. Позначимо ліві і праві похідні
f
−
{\displaystyle f^{-}}
f
+
{\displaystyle f^{+}}
x
0
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x_{0}\in [a,b]}
t
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
c
(
x
−
x
0
)
,
c
∈
[
f
−
(
x
0
)
,
f
+
(
x
0
)
]
.
{\displaystyle t(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0}),\ c\in [f^{-}(x_{0}),f^{+}(x_{0})].}
для якої
∀
x
∈
[
a
,
b
]
,
t
(
x
)
⩽
f
(
x
)
,
∧
t
(
x
)
=
f
(
x
)
⇔
x
=
x
0
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b],t(x)\leqslant f(x),\ \ \land \ \ t(x)=f(x)\Leftrightarrow x=x_{0}.}
Зокрема для
x
0
=
a
+
b
2
{\displaystyle x_{0}={\frac {a+b}{2}}}
∀
x
∈
[
a
,
b
]
,
f
(
a
+
b
2
)
+
c
(
x
−
a
+
b
2
)
⩽
f
(
x
)
,
c
∈
[
f
−
(
a
+
b
2
)
,
f
+
(
a
+
b
2
)
]
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b],f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant f(x),\ c\in \left[f^{-}\left({\frac {a+b}{2}}\right),f^{+}\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right].}
Навпаки, зважаючи на опуклість f :
∀
x
∈
[
a
,
b
]
,
f
(
x
)
⩽
f
(
a
)
+
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
(
x
−
a
)
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b],f(x)\leqslant f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).}
Проінтегрувавши отримуємо:
∫
a
b
[
f
(
a
+
b
2
)
+
c
(
x
−
a
+
b
2
)
]
d
x
=
(
b
−
a
)
f
(
a
+
b
2
)
,
∫
a
b
[
f
(
a
)
+
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
(
x
−
a
)
]
d
x
=
(
b
−
a
)
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\ \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}
Застосування
ред.
Формула Стірлінга . Розглянемо функцію
x
↦
f
(
x
)
=
1
1
+
x
(
x
≥
0
)
{\displaystyle x\mapsto f(x)={\frac {1}{1+x}}\;(x\geq 0)}
f
″
(
x
)
=
2
(
1
+
x
)
3
>
0
{\displaystyle f''(x)={\frac {2}{(1+x)^{3}}}>0}
[
0
,
x
]
{\displaystyle [0,x]}
x
−
x
2
2
+
x
<
ln
(
1
+
x
)
<
x
−
x
2
2
+
2
x
{\displaystyle x-{\frac {x^{2}}{2+x}}<\ln(1+x)<x-{\frac {x^{2}}{2+2x}}}
Звідси для довільного натурального числа
n
>
0
{\displaystyle n>0}
1
n
+
1
2
<
ln
(
n
+
1
)
−
ln
n
<
1
2
(
1
n
+
1
n
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{n+{\tfrac {1}{2}}}}<\ln(n+1)-\ln n<{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)}
1
<
(
n
+
1
2
)
ln
(
n
+
1
n
)
<
1
+
1
4
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle 1<(n+{\tfrac {1}{2}})\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)<1+{\frac {1}{4n(n+1)}}}
Ці нерівності можна використати для доведення формули Стірлінга . Для цього зручніше переписати останню нерівність пропотенціювавши її
e
<
(
n
+
1
n
)
n
+
1
2
<
e
1
+
1
4
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle e<\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n+{\tfrac {1}{2}}}<e^{1+{\frac {1}{4n(n+1)}}}}
послідовність
a
n
=
n
!
e
n
n
n
+
1
/
2
{\displaystyle a_{n}={\frac {n!e^{n}}{n^{n+1/2}}}}
a
n
a
n
+
1
=
(
n
+
1
n
)
n
+
1
2
e
{\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n+{\tfrac {1}{2}}}}{e}}}
1
<
a
n
a
n
+
1
<
e
1
4
n
(
n
+
1
)
=
e
1
4
n
e
1
4
(
n
+
1
)
{\displaystyle 1<{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}<e^{\frac {1}{4n(n+1)}}={\frac {e^{\frac {1}{4n}}}{e^{\frac {1}{4(n+1)}}}}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
спадною і обмеженою знизу, а послідовність
b
n
=
a
n
e
−
1
4
n
{\displaystyle b_{n}=a_{n}e^{-{\frac {1}{4n}}}}
зростаючою і обмеженою зверху. Оскільки
lim
n
→
∞
e
−
1
4
n
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }e^{-{\frac {1}{4n}}}=1}
lim
n
→
∞
a
n
=
lim
n
→
∞
b
n
=
a
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=a}
натурального числа знайдеться таке
0
<
θ
<
1
{\displaystyle 0<\theta <1}
a
n
=
a
e
θ
4
n
{\displaystyle a_{n}=ae^{\frac {\theta }{4n}}}
n
!
=
a
n
e
θ
4
n
{\displaystyle n!=a{\sqrt {n}}e^{\frac {\theta }{4n}}}
формули Валліса можна знайти[1]
a
=
2
π
{\displaystyle a={\sqrt {2\pi }}}
Нерівності між середніми . Розглянемо функцію
x
↦
f
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle x\mapsto f(x)=e^{x}}
дійсних чисел і тому для усіх
−
∞
<
a
<
b
<
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<\infty }
e
a
+
b
2
<
1
b
−
a
∫
a
b
e
x
d
x
=
e
b
−
e
a
b
−
a
<
e
a
+
e
b
2
{\displaystyle e^{\frac {a+b}{2}}<{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}e^{x}\,dx={\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}<{\frac {e^{a}+e^{b}}{2}}}
Якщо взяти
a
=
ln
x
,
b
=
ln
y
{\displaystyle a=\ln x,\;b=\ln y}
x
<
y
{\displaystyle x<y}
x
y
<
1
b
−
a
∫
a
b
e
x
d
x
=
y
−
x
ln
y
−
ln
x
<
x
+
y
2
{\displaystyle {\sqrt {xy}}<{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}e^{x}\,dx={\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}<{\frac {x+y}{2}}}
тобто нерівності між геометричним , логарифмічним і арифметичним середніми. Тригонометричні нерівності . Розглянемо функцію
x
↦
f
(
x
)
=
sin
x
,
x
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle x\mapsto f(x)=\sin x,\,x\in [0,\pi ]}
вгнутою . Тому згідно з нерівністю Ерміта — Адамара (в якій для вгнутих функцій лише треба змінити напрямок нерівностей) для
0
<
a
<
b
<
π
{\displaystyle 0<a<b<\pi }
sin
(
a
+
b
2
)
>
1
b
−
a
∫
a
b
sin
x
d
x
=
cos
a
−
cos
b
b
−
a
>
sin
a
+
sin
b
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)>{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\sin x\,dx={\frac {\cos a-\cos b}{b-a}}>{\frac {\sin a+\sin b}{2}}}
Нехай тепер
0
<
a
<
b
<
π
/
2
{\displaystyle 0<a<b<\pi /2}
sin
α
+
β
2
>
0
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}>0}
Використаємо тригонометричні тотожності
cos
α
−
cos
β
=
−
2
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
sin
α
+
sin
β
=
2
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
У першій нерівності вище після використання тотожності для різниці косинусів і скорочення отримаємо
b
−
a
2
>
sin
(
b
−
a
2
)
{\displaystyle {\frac {b-a}{2}}>\sin \left({\frac {b-a}{2}}\right)}
У другій нерівності після використання тотожностей для суми синусів і різниці косинусів і скорочень отримаємо
b
−
a
2
<
tan
(
b
−
a
2
)
{\displaystyle {\frac {b-a}{2}}<\tan \left({\frac {b-a}{2}}\right)}
x
=
b
−
a
{\displaystyle x=b-a}
sin
x
<
x
<
tan
x
{\displaystyle \sin x<x<\tan x}
0
<
x
<
π
/
2
{\displaystyle 0<x<\pi /2}
Оцінка точності нерівностей
ред.
Припустимо, що функція
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
m
⩽
f
″
(
x
)
⩽
M
{\displaystyle m\leqslant f''(x)\leqslant M}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
f
(
x
)
−
m
x
2
/
2
{\displaystyle f(x)-mx^{2}/2}
M
x
2
/
2
−
f
(
x
)
{\displaystyle Mx^{2}/2-f(x)}
m
(
b
−
a
)
2
24
⩽
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
f
(
a
+
b
2
)
⩽
M
(
b
−
a
)
2
24
{\displaystyle m{\frac {(b-a)^{2}}{24}}\leqslant {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant M{\frac {(b-a)^{2}}{24}}}
і
m
(
b
−
a
)
2
12
⩽
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
−
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
⩽
M
(
b
−
a
)
2
12
.
{\displaystyle m{\frac {(b-a)^{2}}{12}}\leqslant {\frac {f(a)+f(b)}{2}}-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M{\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}
Нехай
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
ліпшицева на інтервалі функція і
M
=
sup
{
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
x
−
y
|
:
x
,
y
∈
[
a
,
b
]
,
x
≠
y
}
{\displaystyle M=\sup \left\{\left|{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right|:x,y\in [a,b],\,x\neq y\right\}}
|
f
(
x
)
−
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
⩽
M
(
1
4
+
(
x
−
(
a
+
b
)
/
2
b
−
a
)
2
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle \left|f(x)-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leqslant M\left({\frac {1}{4}}+\left({\frac {x-(a+b)/2}{b-a}}\right)^{2}\right)(b-a)\;\;}
|
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
−
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
⩽
M
(
b
−
a
)
4
+
(
f
(
a
)
−
f
(
b
)
)
2
4
M
(
b
−
a
)
{\displaystyle \left|{\frac {f(a)+f(b)}{2}}-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leqslant {\frac {M(b-a)}{4}}+{\frac {(f(a)-f(b))^{2}}{4M(b-a)}}}
Примітки
ред.
Див. також
ред.
Література
ред.
![{\displaystyle x_{0}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06636653315ee7c3b5dc9bdb6ac3fb8cccadc145)
![{\displaystyle t(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0}),\ c\in [f^{-}(x_{0}),f^{+}(x_{0})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf98150f8b57e5e1a8e51a93e4b63a6e4532f799)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b],t(x)\leqslant f(x),\ \ \land \ \ t(x)=f(x)\Leftrightarrow x=x_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3212e7b3964c9d5d63b6b675a4432e691714f8c)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b],f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant f(x),\ c\in \left[f^{-}\left({\frac {a+b}{2}}\right),f^{+}\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a8d32b73501ea0987a4bc1d1da13766c62095c)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b],f(x)\leqslant f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eeb6502cf15a8ee1d75a75e42c620050660bb19)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\ \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5d97e91597ce76591b6da91f03637e4e666994)
![{\displaystyle [0,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725684c883c7ef386e8a0fe4d111e72c565747ed)
![{\displaystyle x\mapsto f(x)=\sin x,\,x\in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5486d10642e27d6f6709526df2f5f21c651b185d)
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\displaystyle M=\sup \left\{\left|{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right|:x,y\in [a,b],\,x\neq y\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3518383d0d264c54e0fe34e20c3dabda31a5bbbe)
