В теорії чисел, нерівністю Бонсе називається нерівність для простих чисел, доведена Бонсе у 1907 році[1].

Твердження ред.

Якщо   позначає  -не просте число, то

 

для  .

З використанням цієї нерівності, Бонсе довів, що 30 є найбільшим цілим числом   із такою властивістю: якщо натуральне число  , де   є взаємно простим із   тобто  , то   є простим числом.

Бонсе також довів сильнішу нерівність:

 

для  .

Натомість слабша нерівність:

 

негайно випливає із доведення Евклідом нескінченності простих чисел.

Приклади ред.

Прикладами для найменших чисел є

 
 
 
 

Доведення ред.

За допомогою постулата Бертрана ред.

Просте доведення нерівності можна дати за допомогою постулата Бертрана (проте воно не є елементарним через використання постулату). Послідовні прості числа задовольняють нерівність   Якщо тепер припустити   то з використанням нерівності із постулату Бертрана

 

оскільки   для  

Оскільки нерівність Бонсе виконується для   то методом математичної індукції вона виконується і для всіх більших натуральних чисел.

Елементарне доведення ред.

Нерівність була доведена простими підрахунками для  

Позначимо  цілу частину числа. Очевидно   і для   також   Дійсно, для другої нерівності   де остання нерівність очевидно виконується для всіх  

Позначимо   і   Нехай елементи   і   множини   діляться на просте число   Тоді   що неможливо. Тобто жодне із простих чисел   не ділить більше одного із чисел множини   Оскільки   то цих простих чисел є менше, ніж елементів множини  Відповідно існує число   що не ділиться на жодне із простих чисел   а тому воно ділиться на якесь більше просте число і зокрема є не меншим, ніж  

Враховуючи все це маємо:

 

а тому:

 

що і завершує доведення.

Посилення і подібні нерівності ред.

Долезман у 2000 році довів[2] що

 

для  .

Шандор у 1988 році показав, [3] що:

 

для  .

Поса у 1960 році довів, [4] що для кожного  , існує   для якого:

 

для  .

Панаітополь довів у 2000 році[5] що:

 

де  — функція розподілу простих чисел.

Примітки ред.

  1. H. Bonse, Üer eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung, Arch. Math. Phys. 12 (1907), pp. 292–295.
  2. M. Dalezman, From 30 to 60 is Not Twice as Hard, Mathematics Magazine 73 (2000) pp. 151–153
  3. J. Sandór, Uber die Folge der Primzahlen, Mathematica (Cluj), 30(53)(1988), 67–74
  4. L. Pósa, Über eine Eigenschaft der Primzahlen, Mat. Lapok, 11(1960), 124–129.
  5. L. Panaitopol, An inequality involving prime numbers, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 11 (2000), pp. 3–35.

Література ред.

  • Uspensky, J. V.; Heaslet, M. A. (1939). Elementary Number Theory. New York: McGraw Hill. с. 87.
  • Rademacher, Hans; Toeplitz, Otto (1990). The Enjoyment of Mathematics. Dover. ISBN 978-0-486-26242-0.
  • Wells, David (2011), Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, с. 21, ISBN 9781118045718
  • Robert J. Betts, Using Бонсе's Inequality to Find Upper Bounds on Prime Gaps, Journal of Integer Sequences, 10, 2007, Versione online.
  • G. van Golstein Brouwers, D. Bamberg, J. Cairns, "Totally Goldbach numbers and related conjectures". Australian Mathematical Society Gazette. Vol 31(4) (2004), p. 254. Versione online.
  • József Sándor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Pres, 2002, ISBN 1-931233-51-9, pp. 238–240. versione online