Міст (теорія графів)
В теорії графів, міст — ребро, видалення якого збільшує кількість компонент зв'язності (або, інакше кажучи, відокремлює підграф)[1]. Рівнозначне визначення, ребро є мостом тоді і тільки тоді, коли воно не є частиною будь-якого циклу.
Подвійне покриття циклами
ред.Графи без мостів породжують цікаву проблему, рішення якої не знайдено досі. Чи вірно, що в будь-якому неорієнтованому графі без мостів існує такий набір циклів, що кожне ребро графу зустрічається в ньому рівно двічі.
Алгоритм знаходження мостів
ред.Перший алгоритм для знаходження мостів в зв'язному графі за лінійний час був віднайдений Робертом Тарджаном в 1974 році[2].
Алгоритм складається з наступних кроків:
- Знайти кістякове дерево для
- Створити дерево з коренем з кістякового дерева
- Обійти дерево в прямому порядку і пронумеровати вершини. Тепер номери батьківських вершин менші за номери нащадків.
- Для кожної вершини при обході у прямому порядку робимо:
- Підраховуємо кількість нащадків для цієї вершини.
- Підраховуємо і
- Для кожної такої, що : якщо і , тоді ребро буде мостом.
Визначення: Ребро поза деревом між і позначається . Ребро в дереві з батьківською позначається .
де батьківська вершина для .
кількість нащадків v (включно із собою) в кістяковому дереві.
і позначки вершин з найменшою і найбільшою позначкою обходу прямого порядку, досяжних з проходом по піддереву з коренем у , разом з щонайбільше одним ребром не в дереві.
Ребро є мостом тоді і тільки тоді, коли з піддерева з коренем у неможливо потрапити у вершину, яка не є нащадком . Це легко перевірити, бо піддерево з коренем у (об'єднує всіх нащадків w) містить наступні вершини , тож ми можемо просто перевірити, знаходяться в цій множині чи ні для перевірки чи є ребро мостом.
Примітки
ред.- ↑ Т. Кормен; Ч. Лейзерсон; Р. Рівест; К. Стайн (2009) [1990]. Розділ 22: Елементарні алгоритми на графах. Вступ до алгоритмів (вид. 3rd). MIT Press і McGraw-Hill. ISBN 0-262-03384-4.
- ↑ Tarjan, R. Endre (1974), A note on finding the bridges of a graph, Information Processing Letters, 2 (6): 160—161, doi:10.1016/0020-0190(74)90003-9, MR 0349483.
Посилання
ред.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |