Мрія першокурсника

Мрією першокурсника (англ. Freshman's dream) часто називають помилку (x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ, де n є дійсним числом (зазвичай додатне ціле більше ніж 1). Таку помилку можна зустріти в школі і у студентів початківців коли вони підносять до степеня суму дійсних чисел. Коли n = 2, легко побачити чому це не так: (x + y)² можна обчислити як x² + 2xy + y² використовуючи дистрибутивність. Для більших додатних цілих значень n, правильний результат задається біномом Ньютона.

Ілюстрація мрії першокурсника у двох вимірах. Кожен бік квадрата завдовжки X+Y. Площа квадрата це сума площ жовтої області (=X²), зеленої області (=Y²) і білих областей (=2×X×Y).

Також «мрією першокурсника» іноді називають теорему, яка стверджує, що для простого числа p, якщо x і y це члени комутативне кільце характеристики p, тоді (x + y)^p = x^p + y^p. У цьому випадку, «помилка» насправді дає коректний результат, оскільки p ділить всі біноміальні коефіцієнти окрім першого і останнього.

Приклади

• $(1+4)^{2}=5^{2}=25$, але $1^{2}+4^{2}=17$.
• ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ зазвичай не дорівнює ${\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|$. Наприклад, ${\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5$, що не дорівнює 3+4=7. У цьому прикладі, помилка сталась із показником n = ¹⁄₂.

Проста характеристика

$(x+y)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}{\pmod {p}}\ \ x,y\in \mathbb {Z}$, просте $p$

Використаємо біном Ньютона.

$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}+\underbrace {\sum _{k=1}^{p-1}{p \choose k}x^{k}y^{p-k}} _{\equiv 0{\pmod {p}}}$

Ми бачимо, що ${p \choose k}$ ділиться на $p$ для $1\leq k\leq p-1,$ отже

$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$

$\Box \!\,$

Таким чином, з характеристикою p мрія першокурсника стає чинною тотожністю. Цей результат демонструє, що піднесення до степеня p породжує ендоморфізм, відомий як ендоморфізм Фробеніуса кільця.

Див. також

• Тест простоти