Мрія першокурсника

Мрією першокурсника (англ. Freshman's dream) часто називають помилку (x + y)n = xn + yn, де n є дійсним числом (зазвичай додатне ціле більше ніж 1). Таку помилку можна зустріти в школі і у студентів початківців коли вони підносять до степеня суму дійсних чисел. Коли n = 2, легко побачити чому це не так: (x + y)2 можна обчислити як x2 + 2xy + y2 використовуючи дистрибутивність. Для більших додатних цілих значень n, правильний результат задається біномом Ньютона.

Ілюстрація мрії першокурсника у двох вимірах. Кожен бік квадрата завдовжки X+Y. Площа квадрата це сума площ жовтої області (=X2), зеленої області (=Y2) і білих областей (=2×X×Y).

Також «мрією першокурсника» іноді називають теорему, яка стверджує, що для простого числа p, якщо x і y це члени комутативне кільце характеристики p, тоді (x + y)p = xp + yp. У цьому випадку, «помилка» насправді дає коректний результат, оскільки p ділить всі біноміальні коефіцієнти окрім першого і останнього.

ПрикладиРедагувати

  •  , але  .
  •   зазвичай не дорівнює  . Наприклад,  , що не дорівнює 3+4=7. У цьому прикладі, помилка сталась із показником n = 12.

Проста характеристикаРедагувати

 , просте  

Використаємо біном Ньютона.

 

Ми бачимо, що   ділиться на   для   отже

 
 

Таким чином, з характеристикою p мрія першокурсника стає чинною тотожністю. Цей результат демонструє, що піднесення до степеня p породжує ендоморфізм, відомий як ендоморфізм Фробеніуса кільця.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати