Метод моментів

(Перенаправлено з Моментів метод)

Метод моментів знаходження оцінок в математичній статистиці — це спосіб побудови оцінок, заснований на порівнянні теоретичних і вибіркових моментів.

Опис ред.

Коротко, метод моментів описується так: «Ми маємо певну вибірку, і припускаємо що вона задається певним розподілом з параметрами. Ми обчислюємо скільки моментів цього розподілу скільки параметрів, і прирівнюємо їх до відповідних моментів вибірки. Так як моменти розподілу є функціями від параметрів, то отримаємо систему рівнянь відносно параметрів, і з неї отримуємо результат.»

Формально: нехай   — вибірка з розподілу  , що залежить від параметра  . Нехай маємо функцію  , таку що   інтегрована відносно міри  , і

 ,

де   — бієкція. Тоді оцінка

 

називається оцінкою параметра   методом моментів.

Зауваження ред.

  • Оцінки знайдені методом моментів, як правило спроможні, але часто неефективні. Тому їх можна використовувати лише як перше наближення, базуючись на яких можна знаходити наступні наближення з меншою дисперсією.
  • За побудовою,  , тобто оцінка методом моментів отримується шляхом прирівнювання теоретичного середнього   з вибірковим середнім.
 .
  • Оцінка   суттєво залежить від використаної функції  . Якщо можливе використання кількох різних функцій  , отримані з їх допомогою оцінки можуть відрізнятися.

Конзистентність методу ред.

Якщо  , тобто функція   неперервна, то оцінка методу моментів конзистентна.

Приклад ред.

Нехай   — вибірка з гамма-розподілу з невідомими параметрами   і  . Тоді

 .

Тоді оцінки методу моментів задовольняють систему рівнянь:

 

звідки

 ,

і

 .

Див. також ред.

Джерела ред.

  • Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
  • Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
  • Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
  • Анісімов В.В.; Черняк О.І. (1995). Математична статистика (укр). Київ: МП "ЛЕСЯ". ISBN 5-7707-8786-4.