Модель Штакельберга

Модель Штакельберга - теоретико-ігрова модель олігополістичного ринку при наявності інформаційної асиметрії. Названа на честь німецького економіста Генріха фон Штакельберга, вперше описана його в роботі Marktform und Gleichgewicht ( Структура ринку і рівновага), що вийшла в 1934р.

У цій моделі поведінка фірм описується динамічною грою з повною досконалою інформацією, що відрізняє її від моделі Курно, в якій поведінка фірм моделюється за допомогою статичної гри з повною інформацією. Головною особливістю гри є наявність лідируючої фірми, яка першою встановлює обсяг випуску товарів, а інші фірми орієнтуються в своїх розрахунках на неї.

Формальне визначення

У дуополії Штакельберга передбачається ієрархія гравців. Першим своє рішення оголошує гравець I, після цього стратегію вибирає гравець II. Перший гравець називається лідером, а другий — веденим. Рівновагою по Штакельбергу в грі називається набір стратегій $(x^{*},y^{*})$, де $y^{*}=R(x^{*})$ що є найкращою відповіддю гравця II на стратегію $x^{*}$, яка знаходиться як вирішення завдання

$H(x^{*},y^{*})=\max \limits _{x}H(x,R(x))$.

Основні передумови

1. Галузь виробляє однорідний товар : відмінності продукції різних фірм нехтуємо, а значить, покупець при виборі, фірми у якої купувати, орієнтується тільки на ціну.
2. Фірми встановлюють кількість виробленої продукції, а ціна на неї визначається виходячи з попиту.
3. Існує так звана фірма-лідер, на обсяг виробництва якої орієнтуються інші фірми.

Окремий випадок: моделювання дуополії

Нехай існує галузь з двома фірмами, одна з яких «фірма-лідер» , інша — «фірма-послідовник». Нехай ціна на продукцію є лінійною функцією загального обсягу пропозиції Q  :

$P(Q)=a-bQ$.

Припустимо також, що витрати фірм на одиницю продукції постійні і рівні c₁ і c₂ відповідно. Тоді прибуток першої фірми буде визначатися формулою

$\Pi _{1}=P(Q_{1}+Q_{2})*Q_{1}-c_{1}Q_{1}$,

а прибуток другий відповідно

$\Pi _{2}=P(Q_{1}+Q_{2})*Q_{2}-c_{2}Q_{2}$.

У відповідності з моделлю Штакельберга, перша фірма — фірма-лідер - на першому кроці призначає свій випуск $Q_{1}$. Після цього друга фірма — фірма-послідовник — аналізуючи дії фірми-лідера визначає свій випуск $Q_{2}$. Метою обох фірм є максимізація своїх платіжних функцій.

Рівновага Неша в цій грі визначається методом зворотної індукції. Розглянемо передостанній етап гри — хід другої фірми. На цьому етапі фірма 2 знає обсяг оптимального випуску продукції першою фірмою $Q_{1}^{*}$. Тоді завдання визначення оптимального випуску $Q_{2}^{*}$ зводиться до вирішення задачі знаходження точки максимуму платіжної функції другої фірми. Максимізуючи функцію $\Pi _{2}$ по змінній $Q_{2}$, вважаючи $Q_{1}$ заданим, знаходимо, що оптимальний випуск другої фірми

$Q_{2}^{*}={\frac {(a-bQ_{1}^{*}-c)}{2b}}$.

Це найкраща відповідь фірми-послідовника на вибір фірмою-лідером випуску $Q_{1}^{*}$. Фірма-лідер може максимізувати свою платіжну функцію, враховуючи вид функції $Q_{2}^{*}$. Точка максимуму функції $\Pi _{1}$ по змінній $Q_{1}$ при підстановці $Q_{2}^{*}$ буде

$Q_{1}^{*}={\frac {(a-c)}{2b}}$.

Підставляючи це у вираз для $Q_{2}^{*}$ , отримаємо

$Q_{2}^{*}={\frac {(a-c)}{4b}}$.

Таким чином , в рівновазі фірма-лідер виробляє в два рази більшу кількість продукції, ніж фірма-послідовник.

Порівняння висновків з висновками моделі Курно

У моделі Курно сумарний випуск для такої ж функції попиту буде нижче, а ціна відповідно вище, отже на рівні теоретичних міркувань можна припустити, що для суспільства в галузях, де склалася олігополія, вигідно виділення фірми- лідера, що володіє значною ринковою владою, так як існування приблизно однакових за розмірами і ринкової влади фірм ( що передбачається в моделі Курно ) веде до зростання ціни і скорочення випуску.

Див. також

• Модель Курно
• Модель Бертрана
• Рівновага Неша

Посилання

• Marktform und Gleichgewicht (Структура ринку і рівновага). — Відень, 1934.
• Шагин, В. Л. Теория игр с экономическими приложениями. Учебное пособие. — М., ГУ-ВШЭ, 2003.