Многогранник Ньютона

Многогранник Ньютона — многогранник із цілочисельними вершинами в n-вимірному евклідовому просторі, який будується за многочленом від n змінних.

Побудова ред.

Припустимо,

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum a_{i_{1},\dots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\dots x_{n}^{i_{n}}

— многочлен від n змінних. Позначимо через $I$ множину всіх мультиіндексів $i_{1},\dots ,i_{n}$ таких, що $a_{i_{1},\dots ,i_{n}}\neq 0$ . За визначенням многочлена $I$ скінченне.

Опуклу оболонку

N_{f}=\mathop {\rm {Conv}} I\subset \mathbb {R} ^{n}

називають многогранником Ньютона многочлена $f$ .

Властивості ред.

Типове число ненульових розв'язків системи поліноміальних рівнянь $f_{1}=\dots =f_{n}=0$ дорівнює
$n!\cdot V(N_{1},\dots ,N_{n}),$

де

N_{i}

многогранник Ньютона многочлена

f_{i}

і

V(N_{1},\dots ,N_{n})

— їх змішаний об'єм^[1]^[2].

Варіації та узагальнення ред.

Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогічна конструкція для типових лінійних комбінацій даних многочленів.^[3]

Примітки ред.

↑ D. N. Bernstein, «The number of roots of a system of equations», Funct. Anal. Appl. 9 (1975), 183—185
↑ A. G. Kouchnirenko, «Polyhedres de Newton et nombres de Milnor», Invent. Math. 32 (1976), 1–31
↑ Andrei Okounkov. Brunn–Minkowski inequality for multiplicities // Inventiones mathematicae. — Т. 125, № 3. — С. 405—411.

Література ред.

Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства. Наука, 1980.
Valentina Kiritchenko, Evgeny Smirnov, Vladlen Timorin, Ideas of Newton-Okounkov bodies, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach, No. 8/2015

Інтернет-ресурси ред.

Linking Groebner Bases and Toric Varieties [Архівовано 16 травня 2022 у Wayback Machine.]
Rossi, Michele; Terracini, Lea (2020). Toric varieties and Gröbner bases: the complete Q-factorial case. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 31 (5–6): 461—482. arXiv:2004.05092. doi:10.1007/s00200-020-00452-w.

[1] D. N. Bernstein, «The number of roots of a system of equations», Funct. Anal. Appl. 9 (1975), 183—185

[2] A. G. Kouchnirenko, «Polyhedres de Newton et nombres de Milnor», Invent. Math. 32 (1976), 1–31

[3] Andrei Okounkov. Brunn–Minkowski inequality for multiplicities // Inventiones mathematicae. — Т. 125, № 3. — С. 405—411.

[1]

[2]

[3]